فصل نهم

كيفياتى كه در كميات قرار دارند و اثبات آنها

 

 

 

 

اَلْفَصْلُ التّاسِع

فِى الْكَيْفِيّاتِ الَّتي فِى الْكَمِيّاتِ وَاِثْباتِها

 

هذا الْفَصْلُ يَليقُ بِالطَّبيعيّاتِ، (1) وَقَدْ بَقِىَ جِنْسٌ واحِدٌ مِنَ الْكَيْفِيّاتِ يَحْتاجُ اِلى اِثْباتِ وُجُودِهِ و اِلَى التَّنْبيهِ عَلى كَوْنِهِ كَيْفِيَّةً، وَهذِهِ هِىَ الْكَيْفِيّاتُ الَّتي فِى الْكَمِيّاتِ.

اَمَّا الَّتي في الْعَدَدِ كَالزَّوْجِيَّةِ وَالْفَرْدِيَّةِ وَغَيْرِ ذلِكَ، فَقَدْ عُلِمَ وُجُودُ بَعْضِها وَاُثْبِتَ وُجُودُ الْباقي في صَناعَةِ الْحِسابِ. وَاَمّا اَنَّها اَعْراضٌ، فَلاَِنَّها مُتَعَلِّقَهٌ بِالْعَدَدِ، وَخَواصُّ لَهُ، وَالْعَدَد مِنَ الْكَمّ، وَالْكَمّ عَرَضٌ.

وَاَمَّا الَّتي تَعْرِضُ لِلْمَقاديرِ فَلَيْسَ وُجُودُها بِبَيِّن، فَاِنَّ الدَّائِرَةَ وَالْخَطَّ

---

1. در نسخه‌‌هاى ديگر نيز تعبير «... يليق بالطبيعيات» آمده است. ولى به نظر مى‌‌رسد مناسبتر آن بود كه بگويد: «... يليق بالتعليميات» زيرا، بحث در اوصاف مقدار است و مقدار موضوع بحث تعليميات است، نه طبيعيات. احتمال دارد كه مصنف اين طبيعيات را در مقابل «ما بعد الطبيعة» به كار برده باشد، تا شامل تعليميات هم بشود. يعنى هرچه مربوط به ماديات است؛‌‌ اعمّ از طبيعياتِ مصطلح و تعليميات. به هر حال، جاى بحث فوق، در تعليميات و رياضيات است. زيرا، مسائلى كه اينجا مطرح مى‌‌شود يا مربوط به عدد است؛‌‌ و يا مربوط به مقدار هندسى است. مع‌‌الوصف، اين پرسش همچنان مطرح است كه چرا اين مباحث در الهيات مطرح مى‌‌شود؟ پاسخ آن، اين است كه در تعليميات، وجود اين امور، به عنوانِ اصل موضوعى تلقّى مى‌‌گردد. زيرا، رياضيات يا هندسه، علومى نيستند كه به صورت برهانى در مقام اثبات وجود چيزى برآيند. اثبات اين مسائل در «فلسفه اولى» و در «ما بعد الطبيعة» مطرح است. آنگاه، مسائل ديگرى نيز هست كه پيرامون وجود آنها بحث مى‌‌شود و به طور تَبَعى اينجا بدان اشاره مى‌‌شود. بنابراين، اين مباحث از يك جهت كه همان جهت اثبات وجود آنها است به «ما بعد الطبيعة» و الهيات بالمعنى الاعمّ مربوط مى‌‌شود؛‌‌ و از جهت ديگر كه بحث ويژگى مقدار و عدد است و ويژگى عدد با تعليميات، مناسبت دارد به رياضيات ارتباط پيدا مى‌‌كند.

گويا اين بخش از سخن يعنى: «هذا الفصل يليق بالطبيعيات» متمّم تيتر فصل است. يعنى اين فصلى كه در كيفيات مختص به كمّيات است با طبيعيات، سازگارتر است. (يليق بالطبيعيات) آنگاه، جمله «و قد بقى جنس واحد...» اوّل مطلب خواهد بود.

الْمُنْحَني وَالْكُرَةَ وَالاُْسْطُوانَةَ وَالْمَخْرُوطَ لَيْسَ شَىْءٌ مِنْها بِبَيِّنِ الْوُجُودِ، وَلا يُمْكِنُ لِلْمُهَنْدِسِ اَنْ يُبَرْهِنَ عَلى وُجُودِها. لاَِنَّ سائِرَ الاَْشْياءِ اِنَّها تَبَيَّنَ لَهُ بِوَضْعِ وُجُودِ الدّائِرَةِ، وَلاِنَّ ذلِكَ الْمُثَلَّثَ يَصِحُّ وُجُودُهُ اِنْ صَحَّتِ الدّائِرَةُ، وَكَذلِكَ الْمُرَبَّعَ، وَكَذلِكَ سائِرُ الاَْشْكالِ.

فصل نهم

كيفياتى كه در كميّات قرار دارند و اثبات آنها

چنانكه گفتيم، كيف در يك تقسيم معروف به چهار قسم تقسيم مى‌‌شود: كيفيات محسوس، كيفيات نفسانى، كيفيات استعدادى و كيفيات مختص به كميات.

درباره كيف محسوس قبلا بحث شد. و بحث درباره دو قسم ديگر نيز در جاى خودش يعنى كتاب نفس، انجام پذيرفته است. از ميان اقسام چهارگانه مذكور، تنها كيفيات مختصّ به كميّات باقى ماندهاست كه اكنون بايد درباره آنها نيز به بحث بپردازيم.

اين قسم، نيازمند دوگونه بحث است:

الف ـ از يك سو، بايد وجود چنين كيفياتى را اثبات كنيم.

ب ـ از سوى ديگر بايد كيف بودن و عَرَض بودن آنها را اثبات كنيم. يعنى علاوه بر اينكه بايد اثبات كنيم آنها جوهر نيستند، همچنين بايد اثبات كنيم كه آنها عَرَض بوده، تحت مقوله كيف مندرج‌‌اند.

كيفيات مختص به كميات به دو دسته تقسيم مى‌‌شود:

الف ـ كيفيّاتِ عارض بر كم منفصل: يك دسته كيفيات مخصوص به كم منفصل، يا عدد است. اين دسته به طور معمول در علم حساب مورد بحث قرار مى‌‌گيرد. مانند: فرديّت، زوجيّت، جذر، كعب وامثال اين امور؛ فيلسوف ما‌‌بعد‌‌الطبيعى، تنها عرض بودن آنها را اثبات كرده، جوهريت آنها را نفى

مى‌‌كند. البته، اگر اثبات شود كه عدد، عَرَض است،(1) بى‌‌شك چنين چيزى نمى‌‌تواند جوهر باشد، و هر چيزى كه از جمله صفات و حالات عرض باشد خودش هم عرض خواهد بود.

بنابراين، دسته نخست كه كيفيات مخصوص به عدد را تشكيل مى‌‌دهند؛ مانند: زوجيت و فرديت، جذر، كعب، تربيع و امثال اين امورى كه به اعداد نسبت داده مى‌‌شود و در ضمن بحث‌‌ها، در جاى جاى منطق به آنها اشاره شده است وجود آنها در علم حساب، اثبات مى‌‌شود.

پس، فيلسوف ما بعد الطبيعى تنها در اين باره بحث مى‌‌كند كه اينها از قبيل اعراض‌‌اند. و اثبات آن بسيار آسان است. زيرا، اين امور از خواص عدد هستند و پيش از اين اثبات كرده‌‌ايم كه عدد، عرض است. در نتيجه، چيزى هم كه از خواص و حالات عدد باشد، از خودِ عدد به عرضيّت، سزاوارتر است و طبعاً خواصِ عدد، نمى‌‌تواند جوهر باشد.

ب ـ كيفيّات عارض بر كمّ متّصل: دسته ديگر كيفياتى است كه عارض بر كمّ متصل مى‌‌شود. مانند: شكل‌‌هاى هندسى، اينها كيفيات و اعراضى هستند كه به مقادير نسبت داده مى‌‌شوند. به طور مثال: شكلهاى مسطّح مانند دايره، مربّع و مثلث؛ اينها كيفياتى هستند براى سطح، و سطحْ خودش مقدار است كه كيفيت خاصّى را مى‌‌يابد. مانند شكل دايره؛ امّا، درباره اينكه ماهيتِ شكل چيست؟ بحثهاى ظريفى وجود دارد كه مصنف در اينجا متعرّض نشده است. صدرالمتألهين در حاشيه خود بر شفا،(2) بحثهاى مفصلى در اين زمينه مطرح كرده كه در اسفار و كتب ديگر بدانها نپرداخته است.

---

1. نظر صحيح درباره حقيقت عدد: آنچه درباره عرض بودن عدد گفته شد در صورتى صحيح است كه عدد را يك قسم از مقولاتِ خاص و از امور ماهوى بدانيم. امّا اگر عدد را از امور انتزاعى دانستيم، در اين صورت كيفيات مخصوص به كميات هم از قبيل انتزاعيات خواهند بود. امّا، حقيقت اين است كه عدد از امور انتزاعى است و از جمله «معقولات ثانيه فلسفى» به شمار مى‌‌رود.

2. ر.ك: تعليقه صدرالمتألهين بر شفا ص 140 ـ 141.

به هر حال، شكلهايى كه در سطوح به كار مى‌‌رود؛ مانند: مثلث، مربع و...، اينها كيفياتى هستند كه به سطح نسبت داده مى‌‌شود. همچنين در مجسّمات؛ شكلهايىكه در حجم‌‌ها و اجسام تعليمى بكار مى‌‌رود، مانند: شكل كره، استوانه، مكعّب و امثال اينها كيفياتى هستند كه به حجم و به جسم تعليمى نسبت داده مى‌‌شود. يعنى معروض و موصوف آنها مقدار و كميت متّصل است.

پرسش اصلى درباره اين امور، آن است كه آيا اينها واقعاً وجود حقيقى دارند؟ يعنى آيا دايره به طور مثال، آنچنانكه در هندسه تعريف مى‌‌شود، در خارج نيز با همين ويژگى‌‌ها وجود دارد؟ همچنين آيا مثلّث آنگونه كه تعريف مى‌‌شود واقعاً در خارج هم وجود دارد؟ يا خطّ مستقيم، به همان شكلى كه در تعريف مى‌‌آيد در خارج هم واقعاً وجود دارد؟ يا اينكه، همه اينها امور فرضى هستند كه مهندسان و دانشمندان علم هندسه، آنها را به صورت «اصل موضوع» لحاظ كرده و ساير شكلها را بر اساس آن، اثبات مى‌‌كنند. يعنى به طور مثال وجود دايره را مفروض انگاشته‌‌اند و بر اساس آن، ساير شكل‌‌ها را اثباتمى‌‌كنند. امّا، وجود دايره بديهى نيست؛ و مى‌‌توان در آن مناقشه نمود. همچنانكه برخى مناقشه كرده‌‌اند. آنها كه قائل به «جزء لايتجزّى» هستند، گفته‌‌اند: دايره وجود حقيقى ندارد. دايره در نظرِ نخستينِ ما انسانها دايره است؛ امّا، اگر با دقت در آن بنگريم، خواهيم ديد كه شكلِ آن دندانه دار است. زيرا، از «اجزاء لايتجزّى» تشكيل شده است. هرگاه اين اجزاء در كنار هم قرار گيرند، تنها مى‌‌توانند خطّ مستقيم را تشكيل بدهند. از چينش آنها در كنار يكديگر، خطّ منحنى پديد نمى‌‌آيد. براى آنكه خطّ، منحنى شود، بايد فواصلى از خارجِ خط براى آن پديدار گردد تا آن را به صورت دندانه، دندانه و در نتيجه به صورت منحنى درآورد. بدينسان، گرچه در ظاهر دايره‌‌اى رسم مى‌‌شود؛ امّا، قائلين به «جزء لايتجزّى» مى‌‌گويند: اين شكل، دايره حقيقى نيست. از روى مسامحه بدان دايره گفته مى‌‌شود.

بنابراين، بايد در برابر كسانى كه وجود حقيقىِ دايره را انكار مى‌‌كنند، اثبات كرد كه دايره حقيقى در خارج وجود دارد.

مهندسان، وجود دايره را در همه شكل‌‌هاى هندسى به عنوان «اصل موضوع» مطرح مى‌‌كنند چنانكه هندسه اقليدس بر همين اساس استوار گرديده است.

جناب شيخ نيز در رياضيات، در باب هندسه، وجود دايره را به عنوان «اصل موضوع» بيان داشته است. بى‌‌شك، اصل موضوع بايد در يك علم به اثبات رسد. علمى كه عهده‌‌دار اثباتِ اين اصل موضوعى است، لاجَرَم فلسفه اولى خواهد بود. در فلسفه اولى اثبات مى‌‌شود كه دايره حقيقى، وجود دارد. آنگاه بر اساس آن، وجود ساير شكل‌‌ها نيز اثبات مى‌‌گردد. بنابراين، وجود دايره و وجود خطّ منحنى، بديهى نيست. زيرا، چنين نظرياتى با تشكيك قائلين به «جزء لايتجزّى» مواجه شده است. از اين رو، بايد در مقام دفاع و پاسخ به آنها اثبات نمود كه دايره حقيقى و خطِّ منحنىِ حقيقى، وجود دارد.

كيفياتى كه به مقادير، يعنى به كم متصل نسبت داده مى‌‌شود، وجودشان بديهى نيست. زيرا، امورى مانند دايره، خط منحنى، كره، استوانه و مخروط و نظاير آن، همه بر وجود دايره، مبتنى مى‌‌باشند، از اين رو، نخست بايد وجود دايره را مفروض انگاشت، آنگاه گفت: هرگاه دايره‌‌اى را حول قطرِ آن بچرخانيم يا دايره‌‌اى را در دايره ديگر بچرخانيم، كره بوجود مى‌‌آيد. بنابراين، اثباتِ كُره، بر اثبات وجود دايره استوار است. همچنين وجود استوانه، بر اثبات وجود دايره، مبتنى است. نخست بايد دايره را اثبات كرد؛ آنگاه گفت: هرگاه دايره را به گونه‌‌اى حركت دهيم كه محاذى مركز خودش خط مستقيمى بر مركز اين دايره عمود شود، و حولِ آن محور، دايره را به طرف بالا بياوريم، استوانه پديد مى‌‌آيد.

خلاصه آنكه، اثبات همه اين شكل‌‌ها، مبتنى بر اثبات وجود دايره است. بنابراين در شكل‌‌هاى كره، استوانه و مخروط، وجود دايره، مفروض انگاشته مى‌‌شود. به طور مثال: اثبات وجود مخروط، به اثبات وجود دايره منوط مى‌‌گردد. زيرا، در قاعده مخروط دايره قرار دارد. حول اين دايره است كه مثلثى مى‌‌چرخد و در اثر آن مخروط پديد مى‌‌آيد. بنابراين، هيچكدام از شكل‌‌هاى ياد شده، بديهى و بيّن الوجود نيستند.

مهندس و دانشمند هندسى نمى‌‌تواند بر وجود اين شكل‌‌ها برهان اقامه كند. زيرا، اگر بخواهد تنها در قلمرو علم هندسه، بحث كند؛ به مقدّماتى كه متناسب با اثبات وجود آن شكل‌‌ها است بر نمى‌‌خورد؛ از اين رو نمى‌‌تواند وجود شكل‌‌هاى ياد شده را اثبات كند. چون اثبات وجود آنها، نيازمند برهانى است كه از مقدماتِ فلسفى تشكيل مى‌‌شود. بنابراين، مهندس وقتى مى‌‌خواهد ساير شكل‌‌ها همچون كره، استوانه، مخروط و...، را اثبات كند؛ نيازمند آن است كه وجود دايره را مفروض انگارد. لذا، اين شكل‌‌ها در صورتى براى مهندس اثبات مى‌‌شود. كه وجود دائره را به عنوان «اصل موضوع» مبنا قرار دهد. به طور مثال: با چرخاندن يك مثلثِ قائم‌‌الزاويه بر گردِ عمود و ارتفاعش، مخروط پديد مى‌‌آيد. كه در اين صورت مثلث بر روى محيط دايره قرار مى‌‌گيرد؛ و آنگاه با چرخاندنش، مخروط پديد مى‌‌آيد.

وانگهى، حتى وجود مثلث در هندسه نيز بر اساس دايره اثبات مى‌‌شود. چنانكه هرگاه دو شعاع از دايره را در نظر بگيريم و ميان منتهى‌‌اليه آن دو كه به محيط مى‌‌رسد يك خط مستقيم ديگرى فرض كنيم، مثلث پديد مى‌‌آيد. در نتيجه، وجود مثلث نيز بر اساس وجود دايره اثبات مى‌‌گردد. همينطور ساير شكل‌‌ها به ترتيب يكى پس از ديگرى بر اساس دايره اثبات مى‌‌شود. به طور مثال، پس از آنكه وجود مثلث اثبات شد؛ مثلث ديگرى را كه آن نيز قائم‌‌الزاويه است، بدان مى‌‌افزاييم، مربع پديد مى‌‌آيد.

وَاَمَّا الْكُرَةُ، فَاِنَّما يَصِحُّ وُجُودُها عَلى طَريقَةِ الْمُهَنْدِسِ اِذا اَدارَ دائِرةً في دائِرَة عَلى نَحْوِ ما عَلِمْتَ، وَالاُْسْطُوانَةُ اِذا حَرَّكْتَ دائِرَةٌ حَرَكَةً يَلْزَمُ فيها مَركَزُها خطّاً مُسْتَقيما(1) طَرَفُهُ مَرْكَزُها في اَوّلِ الْوَضْعِ لُزُوماً عَلَى الاِْسْتِقامَةِ. وَالْمَخْرُوطُ اِذا حَرَّكَتْ مُثَلَّثاً قائمَ الزّاوِيَةَ عَلى اَحَدِ ضِلْعَىِ الْقائِمةِ حافِظاً بِطَرَفِ ذلِكَ الضِّلْعِ مَرْكَزَ الدّائرَةِ وَدائراً بِالضِّلْعِ الثّاني عَلى مُحيطِ الدّائِرَةُ. ثُمَّ الدّائِرَة مِمّا يُنْكِرُ وُجُودَها مَنْ يَرى تَأْلِيفَ الاَْجْسامِ مِنْ اَجْزاء لا تَتَجَزّأ، فَيَجِبُ اَنْ يُبَيَّنَ وُجُودُ الدّائِرَةِ. وَاَمّا عَرَضِيَّتُها فَتَظْهَرُ لَنا لِتَعَلُّقِها بِالْمَقاديرِ الَّتي هِىَ اَعْراضٌ.

اثبات كره، مخروط و دايره

آنچه تاكنون درباره شكلها گفتيم، به شكل‌‌هاى مسطح مربوط بود. امّا، اثبات كره، به شيوه‌‌اى كه مهندسان عمل مى‌‌كنند از اين قرار است:

آنها براى اثبات كره، دو دائره را در نظر مى‌‌گيرند كه يكى در درون ديگرى مى‌‌چرخد، يا دايره‌‌اى را برمحور قطر خودش مى‌‌چرخانند، و بدينسان اثبات مى‌‌كنند كه كره وجود دارد. همچنين براى اثبات وجود استوانه، نخست وجود دايره‌‌اى را فرض مى‌‌كنند؛ آنگاه بر روى مركز دايره يك خط مستقيمى عمود مى‌‌كنند كه همان محور حركت دايره را تشكيل مى‌‌دهد. سپس دايره را حول اين محور تا منتهى‌‌اليه خط مستقيمى كه فرض شده است بالا مى‌‌آورند؛ در اين صورت، استوانه پديد مى‌‌آيد.

---

1. اين عبارت، نامأنوس و غريب است. معناى آن اين است كه: دايره را به گونه‌‌اى حركت دهيم كه مركز آن، ملازم يك خطّ مستقيم باشد. يعنى نخست بايد روى مركز دايره خط مستقيمى را عمود كنيم؛‌‌ آنگاه مركز دايره را به گونه‌‌اى حركت دهيم كه اين مركز، همواره با آن خطِ مستقيم، ملازم باشد و از آن انحراف پيدا نكند.

بنابراين، هرگاه دايره را به طور مستقيم بالا آوريم آنسان كه در هر جايى دايره را در نظر گرفتيم، مركزش به آن خط مستقيم، متصل باشد؛‌‌ در اين صورت، استوانه رسم مى‌‌شود.

توضيح عبارت «و الاسطوانة...»

هر شكلى كه در آن، مركز دائره با يك خط مستقيم ملازم باشد، و منتهى‌‌اليه خطِ مستقيم مركز همان دايره باشد. در اين صورت هرگاه دايره به گونه‌‌اى حركت داده شود و بالا آورده شود كه با مركز دايره ملازم باشد، استوانه رسم مى‌‌شود. يعنى: در نخستين مرحله‌‌اى كه مى‌‌خواهيد خط مستقيم را رسم كنيد، ابتدايش را از مركز دايره در نظر بگيريد. آنگاه دايره را حول محور آن خط مستقيم حركت دهيد و بالا آوريد. (گرچه اين حركت ملازم با مركز دايره است، امّا ملازم بودنش به صورتهاى گوناگون مى‌‌تواند باشد) امّا، حركتى كه ملازم با مركز دايره است، به صورت مستقيم (على الاستقامة) باشد. يعنى خطِ مستقيمى باشد كه مركز دايره از آن جدا نشود و به صورت مستقيم بالا بيايد. در اين صورت است كه استوانه رسم مى‌‌شود.

اثبات مخروط: مخروط، اينگونه شكل مى‌‌گيرد كه نخست يك مثلث قائم الزاويه رسم شود، آنگاه، ضلع قائم اين مثلث بر روى يك دايره كه منتهى اليه آن است قرار گيرد، به گونه‌‌اى كه ضلع مذكور به مركز دايره متصل شود. سپس، آن ضلع، ثابت نگهداشته شود و مثلث بر حولِ آن چرخانده شود؛ آنسان كه منتهى اليه مثلث بر روى قاعده دايره بچرخد. و محيط دايره چرخانده شود تا در اثر آن، مخروط پديد آيد.

بنابراين، نخست بايد مثلث قائم الزاويه‌‌اى را فرض كرد. اين مثلث را كه دو ضلع دارد و مى‌‌توان هر دوى آنها را قائم فرض كرد، يكى از آندو را قاعده و ديگرى را ارتفاع در نظر مى‌‌گيريم. آنگاه روى يكى از اين ضلع‌‌ها، آن را حركت مى‌‌دهيم، به‌‌گونه‌‌اى كه منتهى اليه اين ضلع را روى مركز دايره ثابت نگه داريم.

پس، نخست بايد دايره‌‌اى فرض كنيم كه مركزش مشخص باشد، منتهى اليه ضلع مثلث قائم الزاويه روى آن مركز قرار گيرد و ثابت و پابرجا بماند،

آنگاه، مثلث را گرد همين ضلع حركت مى‌‌دهيم تا مخروط بوجود آيد. «حافظاً بطرف ذلك الضلع» يعنى طرف همان ضلع قائم را در مركز دائره، ثابت نگهداريم. منتهى اليه اين ضلع بر روى مركز دايره باشد و ضلع قائمِ ديگر آن كه بر روى دايره قرار گرفته است بر روى محيط دايره چرخانده شود. «دائراً بالضلع الثانى» يعنى يك ضلع ديگر قائم را كه با آن ضلع قائم مجموعاً يك زاويه قائمه تشكيل مى‌‌دهند، روى محيط دايره چرخانده شود در حاليكه منتهى اليه ضلع اولى روى مركز دايره ثابت باشد.

بنابراين، ملاحظه مى‌‌كنيد كه اثبات همه اين شكل‌‌ها: خواه كُره باشد، خواه استوانه و خواه مخروط؛ متوقف بر وجود دايره است.

ناتوانى مهندس از اثبات دايره

اثبات دايره: وجود دايره بديهى نيست. كسانيكه قائل به اجزاء لا‌‌يتجزّى هستند، وجود دايره حقيقى را انكار مى‌‌كنند. امّا اثبات وجود دايره از عهده مهندس، بيرون است. مهندس، شكل‌‌هاى ديگر را بر اساس وجود دايره اثبات مى‌‌كند. امّا، نمى‌‌تواند وجود دايره را اثبات نمايد. از اين رو، آن را به عنوان «اصل موضوع» مى‌‌پذيرد.

فيلسوف الهى و ما بعدالطبيعى بايد وجود دايره را اثبات كند تا ساير ساخته‌‌ها و پرداخته‌‌هاى مهندسان، مبرهن شود.

اما اينكه چرا مهندس نمى‌‌تواند وجود دايره را اثبات كند؟ دليلش آن است كه انكار كننده‌‌گان دايره، قائل به وجود اجزاى لا‌‌يتجزّى هستند. و مهندس در شأنى نيست كه بتواند بر اثبات يا نفى «جزء لايتجزّى» برهان اقامه كند. اين بحث كه «جزء لايتجزّى» وجود دارد يا نه، ممكن است يا محال؟ برعهده مهندس نيست. از اين رو، فيلسوف الهى بايد وجود دايره را اثبات كند؛ تا بر اساس آن، يك «اصل موضوع» براى اثبات ساير شكل‌‌ها فراهم گردد.

بنابراين، ما در اين بحث نيازمند اثبات دو مطلب هستيم:

الف) دايره، وجود دارد.

ب) دايره، عَرَض است.

اثبات مطلب دوّم، آسان است. زيرا، دايره كيفيتى است از كيفيات كم متصل. وقتى كمّ بودن و عَرَض بودن خودِ مقدار را اثبات كرديم، عَرَض بودن حالات آن نيز به طريقِ اولى اثبات مى‌‌شود.

فَنَقُولُ: اَمّا عَلى مَذْهَبِ مَنْ يُرَكِّبُ الْمَقاديرَ مِنْ اَجْزاء لا تَتَجَّزأُ فَقَدْ يُمْكِنُ اَنْ يُثْبَتَ عَلَيْهِ اَيْضاً وُجُودُ الدّائرَةِ مِنْ اُصُولِهِ، ثُمَّ يُنْقَضُ بِوُجُودِ الدّائِرَةِ جُزْءُهُ الَّذي لا يَتَجَزَّأُ. وَذلِكَ لاَِنَّهُ اِذا فُرِضَتْ دائِرَةٌ عَلَى النَّحْوِ الْمَحْسُوسِ، وَكانَتْ عَلى ما يَقُولُونَ غَيْر دائِرَة فِى الْحَقيقَةِ، بَلْ كانَ الْمُحيطُ مُضَرَّساً. وَكَذلِكَ اِذا فُرِضَ فيها جُزْءٌ عَلى اَنَّهُ الْمَرْكَزُ، وَاِنْ لَمْ يَكُنْ ذلِكَ الْجُزْءُ مَرْكَزاً بِالْحقيقَةِ، فَقَدْ يَكُونُ عِنْدَهُمْ مَرْكَزاً فِى الْحِسِّ، يُجْعَلُ الْمَفْروُضُ مَرْكَزاً فِى الْحِسِّ طَرَفَ خَطٍّ مُؤَلّف مِنْ اَجْزاء لا تَتَجَزَّأ، مُسْتَقيم، فَاِنّ ذلِكَ صَحيحُ الْوُجُودِ مَعَ فَرْضِ ما لا يَتَجَزَّأٌ. فَاِن طُوبِقَ بِطَرَفِهِ الاْخَرِ جُزْءٌ مِنَ الَّذي عِنْدَ الْمُحيطِ، ثُمَّ اُزيلَ وَضْعُهُ، وَاُخِذَ الْجُزْءُ الَّذي يَلِى الْجُزْءَ الَّذي مِنَ الْمُحيطِ الَّذي اِعتَبَرْناهُ وَطابَقْنا بِهِ الْخَطَّ اَوَّلا فَطُوبِقَ بِهِ رَأْسُ الْخَطِّ الْمُسْتَقيم مُطابَقَةً مُماسَّةً اَوْ مُوازاةً اِلى جِهَةِ الْمَرْكَزِ. فَاِنْ طابَقَ الْمَرْكَز فَذلِكَ الْغَرَض، وَاِنْ زادَ اَوْ نَقَصَ فَيُمْكِنُ اَنْ يُتَمَّمَ ذلِكَ بِالاَْجْزاءِ حَتّى لا يَكُونَ هُناكَ جَزْءٌ يَزيدُ، لاَِنَّهُ اِنْ زادَ أُزيلَ، وَاِنْ نَقَصَ تُمِّمَ، وَاِنْ نَقَصَ بِاِزالَتِهِ وَزادَ بِاِلْحاقِهِ فَهُوَ مُنْقَسِمٌ لا مَحالَةَ وَقَدْ فُرِضَ غَيْرَ مُنْقَسِم. فَاِذا جُعِلَ كَذلِكَ بِجُزْء جُزْء تَمَّتِ الدّائِرَةُ.

راههاى اثبات وجود دائره حقيقى

در اين فصل بر آنيم كه وجود دايره را اثبات كنيم. وجود دايره از دو راه اثبات مى‌‌شود:

راه نخست: نخستين راهِ اثبات وجود دايره، در برابر كسانى كه قائل به «جزء لايتجزّى» هستند راه جدلى است. در اين راه، اصول مورد قبولِ طرفِ مناظره، همچون اعتقاد به «جزء لايتجزّى» و حقيقى نبودن دايره‌‌هاى موجود، پذيرفته مى‌‌شود. مع‌‌الوصف اثبات مى‌‌شود كه لازمه سخن شما اين است كه دايره حقيقى نيز ممكن باشد. آنگاه، پس از اثبات امكان دايره حقيقى، اثبات خواهد شد كه «جزء لايتجزّى» باطل است. زيرا، ميان آندو، ناسازگارى و تناقض وجود دارد.

راه دوم: راه دوّم آن است كه ما به طور مستقل و با صرف نظر از سخنانِ طرفِ مقابل، برهان اقامه كنيم بر اينكه دايره حقيقى وجود دارد. مصنّف غير از بيان جدلى، دو برهان هم براى اثبات دايره اقامه خواهد كرد.

نخستين بيان براى اثبات دايره حقيقى، بر اساس مذهب كسانى است كه مى‌‌گويند مقادير از اجزاء لا‌‌يتجزّى تركيب شده‌‌اند. بنابراين، مصنف در اين مجال بر آن است كه با قائلان به جزء لا‌‌يتجزّى، يك بحث جدلى در ميان گذارد. از اين رو، مى‌‌گويد:

فرض مى‌‌كنيم كه جزء لا‌‌يتجزّى وجود دارد؛ و مقادير و كميّت‌‌هاى هندسى، همه از اجزاء لا‌‌يتجزّى تشكيل شده‌‌اند. مع الوصف، اثبات مى‌‌كنيم كه حتى بر اساس چنين مبنايى نيز دايره حقيقى وجود دارد. نخست طبق مبناىِ طرفِ مقابل اثبات مى‌‌كنيم كه دايره حقيقى وجود دارد؛ آنگاه، جزء لا‌‌يتجزّى را نيز ابطال مى‌‌كنيم.

توضيح مطلب: دايره‌‌اى را كه از روى مسامحه بدان دايره مى‌‌گويند و حقيقتاً دايره نيست در نظر مى‌‌گيريم. اين دايره طبق نظرِ خصم، دايره حقيقى نيست. يعنى محيط آن، خط منحنى نيست؛ بلكه خطِّ مضرّس و دندانه‌‌دار است. همچنين براى دايره مركزى را در نظر بگيريم كه آن هم جزء لا‌‌يتجزّى است. بنابراين، اين دايره هم مركزى دارد كه جزء لا‌‌يتجزّى است و هم محيطش،

مضرّس و مركّب از اجزاء تجزيه‌‌ناپذير است و خطّ منحنىِ حقيقى نيست. به نظرِ خصم، مركزى كه در حسّ انسان، مركز مى‌‌نمايد، در واقع، مركز حقيقى نيست. درنتيجه، آن جزء لايتجزايى كه در ظاهر وسط است، مركز مسامحى است. اين حسّ ما است كه آن را مركز مى‌‌انگارد. وگرنه از نظر دقّى فلسفى، مركز نيست. چون وقتى محيط دايره، مضرّس باشد، مركز حقيقى نمى‌‌تواند داشته باشد.

به هر تقدير، ما اين جزء لا‌‌يتجزّايى را كه مركز مسامحى براى دايره است، منتهى اليه يك خطِ مستقيم در شعاعى كه رسم مى‌‌كنيم قرارش مى‌‌دهيم، و رسم خط مستقيم حتّى بر اساس قول به اجزاء لا يتجزّى مانعى ندارد.

حال، اين خطّى را كه از مركز دايره به طرف محيط دايره، رسم كرده‌‌ايم، اگر منطبق بر جزئى از محيط دايره شود كه آن جزء هم طبعاً جزئى لا‌‌يتجزّى است در اين صورت، خطّ مستقيمى بينِ آندو، به صورت شعاعِ دايره رسم شده است. سپس، وضعِ كنونى را تغيير مى‌‌دهيم؛ يعنى اين خط مستقيم را كه به جزء لا‌‌يتجزّى در محيط دايره وصل شده بود؛ از جزء پيشين برداشته و به جزء بعدى متصل مى‌‌كنيم. درنتيجه، شعاعى كه ميان مركز و جزء نخستين رسم شده بود، با اندكى تغيير، آنرا به جزء بعدى در محيط دايره، متصل مى‌‌كنيم. يعنى خط مستقيمى كه تاكنون به جزء لا‌‌يتجزّى در محيط دايره، وصل شده بود، و خط را بر آن تطبيق كرده بوديم، اينك آن را از آن خط زايل كرده، به جزء بعدى، متصل مى‌‌كنيم. در اين صورت، خط مستقيم از مستقيم بودن، خارج نمى‌‌شود. زيرا، اين خط نيز مطابق است با همان خط قبلى؛ حال، اين مطابقت يا به صورتِ مماسه است؛ يا به صورتِ موازات است.يعنى طرفِ مناظره بايد بپذيرد كه خط جديد پهلوى خط پيشين رسم مى‌‌شود و مماس با آن است. و در غير اين صورت، خطى بر روى خطِ پيشين و موازى با آن رسم مى‌‌شود؛ امّا، به گونه‌‌اى كه به جزء لا يتجزّاىِ بعدى

متصل مى‌‌گردد. و از آن رو كه طرف ديگر آن به مركز وصل مى‌‌شود با خط پيشين فرقى نمى‌‌كند. هردوى آنها، دو شعاعى خواهند بود كه در كنار يكديگر نهاده شده و به مركز دايره متصل مى‌‌گردند.

حال، بايد ديد كه اين خط مستقيم يعنى همان شعاعى كه يك طرف آن به جزء بعدى محيط متصل شد، آيا در امتداد خود به مركز دايره مى‌‌رسد يا نه؟ اين پرسش از آن رو مطرح مى‌‌شود كه بر حسب فرض محيط دايره مضرّس و دندانه‌‌دار است و همين امرْ زمينه اين سؤال را فراهم مى‌‌كند كه آيا يك طرف خط به مركز دايره متصل مى‌‌شود يا نمى‌‌شود؟ اگر يك طرف خط به مركز دايره مى‌‌رسد و از اين جهت كه طرف ديگرش به جزء بعدى محيط دايره متصل مى‌‌شود (يعنى به آن جزئى كه پس از تلاقى خطّ پيشين با محيط دايره قرار دارد وصل مى‌‌شود) با خط پيشين فرقى نمى‌‌كند؛ پس معلوم مى‌‌شود كه اين دو شعاع مساوى‌‌اند.

همچنين شعاع سوم و چهارم و پنجم... نيز مساوى خواهند بود. در نتيجه، دايره مذكور، حقيقى خواهد بود. و اين همان چيزى است كه ما بدنبال آن هستيم. زيرا، ما نيز مى‌‌گوييم دايره حقيقى، آن است كه همه شعاع‌‌ها و خطوطى كه بين مركز و محيط دايره رسم مى‌‌شود، با هم مساوى‌‌اند.

امّا، اگر بگوييد شعاع و خط مستقيم دوّم را وقتى با خط مستقيم نخست مى‌‌سنجيم مى‌‌بينيم در اثر تضريس محيط، يا كمتر است و يا بيشتر! در اين صورت اگر كوتاهتر باشد يك جزء لا‌‌يتجزّى بر آن مى‌‌افزاييم تا مساوى شود. و اگر بيشتر باشد يك جزء لا‌‌يتجزّى از آن مى‌‌كاهيم. يعنى اگر نقطه‌‌اى در محيط دايره در اثر تضريس برآمدگى داشته و به همين دليل خطّى كه به آن وصل شده، بلندتر شود، يك جزء لا‌‌يتجزّى از آن برآمدگى برمى‌‌داريم، تا اين شعاع با خط پيشين مساوى شود. و اگر در محيط دايره، در اثر تضريس،

فرورفتگى پيدا شده و همين امر، دليل كوتاهتر شدن اين شعاع از شعاع پيشين گشته است، در اين صورت، يك جزء لا‌‌يتجزّى بدان مى‌‌افزاييم تا مساوى شود.

بنابراين، فزونى و كاستىِ شعاع‌‌ها و خطوط را با افزودن و كاستن «جزء لايتجزّى» مساوى مى‌‌كنيم. و بدينسان اگر خطى بيشتر است، جزئى از آن را برمى‌‌داريم و اگر كمتر است، جزئى بر آن مى‌‌افزاييم.

امّا، اگر با افزودن «جزء لايتجزّى»، خط كوتاهتر، با خطوط ديگر مساوى نمى‌‌شود، بلكه از آنها بلندتر مى‌‌شود. همچنين با كاستن «جزء لا‌‌يتجزّى» از خط بلندتر، آن خط از خطوط ديگر كوتاهتر مى‌‌شود، معلوم مى‌‌شود كه اين جزء، «جزء لا‌‌يتجزّى» نيست، بلكه دو جزء دارد، و با نصفِ آن، تساوى به وجود مى‌‌آيد. يعنى جزءِ مذكور به گونه‌‌اى است كه اگر همه آن را بيفزاييم يا بكاهيم، حالت تساوى پديد نمى‌‌آيد. بلكه يا بيشتر مى‌‌شود و يا كمتر. در اين صورت معلوم مى‌‌شود كه اين جزء، «جزء لايتجزّى» نيست.

به هر حال، براى پديدآوردن يك دايره حقيقى، بايد كاستى‌‌ها و فزونى‌‌ها را با افزودن جزء و كاستن آن، از بين برد و خطوط را مساوى كرد؛ تا در پرتو آن، دايره حقيقى شكل گيرد.

توضيح راه نخست (راه جدلى)

مصنف، ابتدا راهِ نخست را برمى‌‌گزيند و از اين رهگذر با قائلين به «اجزاء لاتتجزّى» مى‌‌ستيزد. حاصل بيان ايشان در اينجا اين است: سطحى را كه به نظر شما در خارج دايره مى‌‌نمايد، و آنرا يك موجودحقيقى مى‌‌انگاريد؛ و مى‌‌گوييد اين دايره، سطح جسمى است همچون سطحِ قاعده يك استوانه و يا يك مخروط. چون، دايره در خارج، لاجرم بر روى يك جسم خواهد بود. چنانكه اگر جسمى به شكل استوانه باشد قاعده‌‌اش از دو طرف، دايره است، و اگر به شكل مخروط باشد يك قاعده دارد كه همان دايره است.

حال، اگر كلّه قندى به شكل مخروط ساخته شود طبق نظر قائلين به «جزء لايتجزّى»، وقتى اين قند خورد و به اندازه‌‌اى ريز مى‌‌شود كه به اجزاى غير قابلِ شكستن مى‌‌رسد ـ يعنى به آنجا مى‌‌رسد كه نه عقلا قابل شكستن است و نه خارجاًـ چنين اجزائى وقتى كنارهم قرار مى‌‌گيرند مى‌‌توانند به گونه‌‌اى چيده شوند كه خطّ مستقيم را به وجود آورند. امّا اگر بخواهند به صورت منحنى درآيند، بايد به گونه‌‌اى چيده شوند كه تقعّر خط منحنى با تحدّبش متفاوت باشد. يعنى بايد جهت خارجى آن با جهت داخلى آن فرق كند. فضاى داخلى خط منحنى از فضاى بيرون خط منحنى كمتر است. در حالى كه اجزاء تشكيل دهنده خط منحنى همان اجزائى هستند كه خطِ مستقيم را مى‌‌سازند و با هم فرق نمى‌‌كنند.

وقتى اجزاء خط مستقيم، منحنى مى‌‌شوند، بين اجزاء آن از خارج فاصله‌‌هايى پديد مى‌‌آيد، گرچه آن فاصله‌‌ها با چشم قابل ديدن نيستند. امّا، براى آنكه منحنى شود لاجرم، سطح درونى آن با سطح بيرونىِ آن فرق خواهد كرد. يعنى بايد اجزاءِ آن از درون به هم متّصل شوند و از بيرون فاصله پيدا كنند. از اين رو،به صورت داندانه، داندانه درمى‌‌آيد. پس، خطِ منحنىِ حقيقى وجود ندارد. چنانكه سطح دايره حقيقى هم وجود نخواهد داشت. زيرا، محيط دايره از خطّ مضرّس و دندانه‌‌دار تشكيل مى‌‌شود.

مصنف براى ابطال اين سخنان، مى‌‌گويد: ما همه آنها را صحيح فرض مى‌‌كنيم و مى‌‌پذيريم كه وجود همه دايره‌‌ها، مضرّس است. در هيچكدام از آنها خط منحنىِ حقيقى وجود ندارد. اكنون مى‌‌پرسيم آيا مى‌‌توان از مركز دايره كه آن هم «جزء لا‌‌يتجزّى» است خطى را به محيط دايره، كشيد و وصل كرد؟ يعنى آيا مى‌‌توان براى اين دايره، شعاعى را رسم نمود؟ بديهى است پاسخ اين سؤال مثبت است. كسى نمى‌‌تواند بگويد رسم شعاع براى دايره ممكن نيست. حال، ميان مركز دايره كه «جزء لايتجزّى» است با يك جزئى از

محيط دايره كه آن نيز «جزء لايتجزّى» است، فاصله‌‌اى وجود دارد كه مى‌‌توان آن را با يك خط مستقيم پر كرد. در محيط دايره، جزء لا‌‌يتجزّاى ديگرى در كنار جزء پيشين كه خط مستقيم بدان متصل شده، در نظر مى‌‌گيريم و ازمركز دايره، خط مستقيم ديگرى را بدان وصل مى‌‌كنيم. بديهى است رسم چنين خطى نيز ممكن است. بنابراين، فاصله ميان مركز دايره بااين جزء لا يتجزّاى جديد در محيط دايره، به وسيله يك خط مستقيم پر مى‌‌شود. حال، اين پرسش مطرح مى‌‌شود كه آيا اين دو شعاع بايكديگر مساوى‌‌اند يا مساوى نيستند؟ اگر پاسخ اين سؤال آن باشد كه همه شعاع‌‌هايى كه اينچنين رسم مى‌‌شوند با هم مساوى‌‌اند، معلوم مى‌‌شود دايره، يك دايره حقيقى است. زيرا، دايره حقيقى غير از اين نيست كه هرگاه از مركز دايره، شعاعهايى به سوى محيط آن رسم شود،همه آنها باهم مساوى باشند. شما كه مى‌‌گوييد دايره، مضرّس و دندانه‌‌دار است معنايش آن است كه در يك نقطه اين دندانه بالاتر است و درنقطه ديگر پائين‌‌تر! آنگاه اگر خط مستقيم به دندانه نخستين كه بالاتراست وصل شود، شعاع ترسيم مى‌‌گردد كه نسبت به دندانه‌‌اى كه در محيط دايره، پائين‌‌تر واقع شده بلندتر است. در نتيجه، شعاعهاى دايره، متفاوت خواهند بود.

به هر تقدير، ما اين را از شما مى‌‌پذيريم كه دو شعاعى كه پهلوى هم رسم مى‌‌كنيم از جهت طول و عرض با هم فرق دارند؛ زيرا، محيط دايره، مضرّس است. امّا، ما مى‌‌توانيم شعاع دوّم را كه يا بلندتر و يا كوتاهتر است، با افزودن و يا كاستن يك جزء لا‌‌يتجزّى، مساوى شعاع نخستين‌‌اش سازيم: يعنى اگر بلندتر است، يك جزءلايتجزايش را حذف كنيم و اگر كوتاهتر است، يك جزء بر آن بيفزاييم تا بدينسان اندازه شعاع نخستين شود.

اگر بگوييد: افزودن يك «جزء لايتجزّى» بر شعاع كوتاهتر، موجب بلندتر شدن

آن مى‌‌شود. چنانكه كاستن يك جزء از شعاع بلندتر، موجب كوتاهتر شدنِ آن مى‌‌گردد.

مى‌گوييم: پس، معلوم مى‌‌شود «جزء لايتجزّى» قابل انقسام است. چونكه اگر مقدارى از آن را بر شعاع كوتاهتر بيفزاييم، مساوى مى‌‌شود. امّا، اگر همه جزء را بر آن بيفزاييم بلندتر مى‌‌شود. بنابراين، معلوم مى‌‌شود آن جزء، لا‌‌يتجزّى نيست بلكه قابل تجزيه است. در نتيجه، براى اينكه شما بگوييد جزئى لا‌‌يتجزّى است، بايد بپذيريد كه هرگاه جزء لا‌‌يتجزّايى را بر شعاع كوتاهتر بيفزاييم، با شعاع نخستين مساوى مى‌‌شود.

حاصل آنكه اگر دايره را مضرّس و دندانه‌‌دار انگاشتيد، با افزودن «جزء لايتجزّى» در ميان كنگره‌‌ها و دندانه‌‌هاى بيرون آمده، خلأها پر مى‌‌شود و دايره حقيقى پديد مى‌‌آيد. و اگر بگوييد با افزودن جزء، دايره از آن سو، مضرّس مى‌‌شود، معلوم مى‌‌شود كه اين اجزاء لا‌‌يتجزّاىِ افزوده شده به گونه‌‌اى است كه نصفِ آن، درون دندانه قرار مى‌‌گيرد؛ امّا نصف ديگرش بيرون مى‌‌ماند. پس، جزءِ مذكور، دو نصف دارد. و از اين رو، جزءِ لا‌‌يتجزّى نخواهد بود. هرچند در خارج پذيرنده تقسيم نباشد، ولى از جهت عقل، قابل تجزيه است. بحث ما نيز بر سر اين است كه جزء لا‌‌يتجزّى عقلا محال است. هرچند ممكن است در خارج جزئى باشد كه نتوان آن را شكست. بنابراين، آن جزئى را كه شما آن را لا‌‌يتجزّى انگاشتيد، لا‌‌يتجزّى نيست.

بدينسان، اثبات مى‌‌شود كه حتى بر اساس مبناى شما، مى‌‌توانيم دايره حقيقى داشته باشيم.

ثُمَّ اِنْ كانَ في سَطْحِها تَضْريسٌ اَيْضاً مِنْ اَجْزاء، فَاِنْ كانَتْ مَوضُوعَةً في فُرَج اُدْخِلَتْ تِلْكَ الاَْجْزاءُ اَلْفُرَجَ لِيُسَدَّ بِها اَلْخَلَلُ مِنَ السَّطْحِ كُلُّها، وَاِنْ كانَتْ لا تَدْخُلُ الْفُرَج فَالْفُرَجُ اَقَلُّ مِنْها فِى الْقَدْرِ فَهِىَ اِذَنْ مُنْقَسِمَةٌ، اِذِ الَّذي يَمْلاَُ الْفُرَجَ اَقَلُّ حَجْماً مِنْها، وَما هُوَ كَذلِكَ

فَهُوَ في نَفْسِهِ مُنْقَسِمٌ وَاِنْ لَمْ يُمْكِنْ فَصْلُه. وَاِنْ لَمْ تَكُنْ مَوْضُوعَةً في فُرَج اُزيلَتْ مِنْ وَجْهِ السَّطْحِ مِنْ غَيْرِ حاجَة اِلَيْها.

تضريس در سطح دايره

اگر سطح دايره، در اثر اينكه از «اجزاى لايتجزّى» تشكيل شده، پستى و بلندى پيدا كرده در اين صورت مى‌‌توان خُلَل و فُرَج را با افزودن يا كاستن اجزاى لا‌‌يتجزّى، هموار كرد. به اين صورت كه درفرورفتگى‌‌ها، يك جزء افزوده شود، و از برآمدگى‌‌ها، يك جزء كاسته شود. تا از اين رهگذر، گوديها و فرجه‌‌هاى روى سطح، پر شود؛ و برجستگى‌‌هاى روى آن نيز زدوده شود.

امّا، اگر مى‌‌گوييد اجزاء لا‌‌يتجزّى، به گونه‌‌اى است كه داخل حفره‌‌ها نمى‌‌رود، در اين صورت، معلوم مى‌‌شود كه اجزاى ياد شده، قابليت كوچك شدن يا بزرگ شدن دارند. در نتيجه مى‌‌توان آنها را كوچكتر فرض كرد كه داخل حفره‌‌ها بروند. و يا بخشى از آن اجزاء، درون حفره‌‌ها قرار گيرند، و بخش ديگر آنها بيرون بمانند. بنابراين، اجزاء مذكور، «اجزاء لايتجزّى» نخواهند بود. و از آن رو كه اندازه حفره‌‌ها، كمتر از آن اجزاء است؛ پس، معلوم مى‌‌شود كه اجزاء، قابل انقسام مى‌‌باشند. زيرا، آن جزئى كه بايد اين حفره‌‌ها را پر كند بايد از خود اجزائى كه فُرَج را تشكيل داده‌‌اند كوچك‌‌تر باشد. پس، معلوم مى‌‌شود اين اجزاء، كوچكى و بزرگى دارند. و چيزى كه اينچنين باشد، فى‌‌نفسه انقسام‌‌پذير خواهد بود. هرچند در خارج امكان ازهم گسستن آن نباشد.

و اگر «اجزاى لا‌‌يتجزّى» كه موجب تضريسِ سطح دايره شده، اينها در حفره‌‌ها و روزنه‌‌ها نباشند، بلكه بر روى سطح قرار گرفته باشند؛ در اين صورت، اگر از روى سطح برداشته شوند؛ سطح صاف مى‌‌شود. و ديگر نيازى به آنها نيست، و دايره حقيقى بوجود مى‌‌آيد.

تضريس (دندانه‌‌دار بودن) سطح دايره

آنچه تاكنون گفتيم درباره محيط دايره بود. امّا، درباره سطح آن نيز مى‌‌گويند دايره، داراى سطحى مضرّس است. به طور مثال كلّه قندى كه به صورت مخروط است، قاعده‌‌اش دايره است. و چون ذرّات قند برجستگى دارند، از اين رو، سطح دايره در قاعده اين مخروط نيز صاف نبوده، برجستگى دارد.

نظير آنچه را درباره محيط دايره و شعاعهايى كه بدان متصل مى‌‌شوند، گفتيم؛ درباره برجستگى‌‌هاى سطح دايره نيز مى‌‌گوييم:

نقاطِ برجسته سطح را كه از ميانگين سطح، اضافه مى‌‌آيد، حذف مى‌‌كنيم؛ يعنى جزء لا‌‌يتجزّاىِ آن را برمى‌‌داريم تا مساوى گردد.

اگر بگوييد: وقتى جزءِ زائد را برمى‌‌داريم، فرورفتگى ايجاد مى‌‌شود.

مىگوييم: پس، معلوم مى‌‌شود جزءِ مذكور، جزء لا‌‌يتجزّى نيست. زيرا، اين جزء به گونه‌‌اى است كه وقتى آنرا در جاى كاستى، مى‌‌نهيم از ميانگين سطح بالاتر مى‌‌آيد، و وقتى آنرا برمى‌‌داريم، كاستى و فرورفتگى پديدار مى‌‌گردد. پس معلوم مى‌‌شود كه آن جزء، خود، دو جزء دارد و قابل تجزيه است.

و اگر مى‌‌گوييد وقتى اجزاء زائد سطح را برمى‌‌داريم، مساوى مى‌‌شود، مى‌‌گوييم به هر حال وقتى برداشتيد و سطح هم‌‌گون و مساوى پديد آمد، در آن صورت، دايره حقيقى نيز پديد آمده است.

حاصل آنكه: اگر در سطح دايره، تضريس و پستى و بلندى وجود داشته باشد، مى‌‌توانيم نظير آنچه را درباره محيط دايره گفتيم در سطح آن نيز انجام دهيم. يعنى از يك سو، در جاهاى فرو رفته، «جزء لايتجزّى» قرار مى‌‌دهيم و از سوى ديگر در نقاط برآمده و برجستگى‌‌ها، «جزء لا‌‌يتجزّى» را مى‌‌كاهيم و بدينسان سطحى يكنواخت و مساوى پديد مى‌‌آوريم.

امّا، اگر مى‌‌گوييد با افزودن جزء لا‌‌يتجزّى در نقاط فرورفته، برجستگى ايجاد مى‌‌شود نه تساوى، در اين صورت، معلوم مى‌‌شود كه جزء مذكور،

«جزء لايتجزّى» نيست، بلكه دو جزء دارد: كه يك جزء آن درون نقطه فرو رفته قرار مى‌‌گيرد و جزء ديگر آن بيرون مى‌‌ماند؛ چنانكه اگر با كاستن «جزء لايتجزّى» از نقاط برجسته، فرو رفتگى ايجاد مى‌‌شود نه تساوى، معلوم مى‌‌شود كه جزء مذكور «جزء لا‌‌يتجزّى» نيست؛ بلكه دو جزء دارد: يك جزء آن از نقطه برجسته كنده مى‌‌شود و در اين حدّ، تساوى بوجود مى‌‌آيد و جدا شدن جزء ديگر آن، موجب فرو رفتگى مى‌‌شود.

فَاِنْ قالَ قائِلٌ: اِنَّهُ اِذا طُوبِقَ بَيْنَ الْجُزْءِ الْمَرْكَزيِّ وَبَيْنَ الْمُحيطيِّ مَرَّةً، فَلَيْسَ يُمْكِنُ التَّطْبيقُ لا بِمُماسَّة و لا بِمُوازاة مَعَ الْمَرْكَزِىِّ، وَالَّذي يَلِى ذلِكَ الْجُزْءَ مِنَ الْمُحيطِ.

فَاِنّا نَقُولُ لَهُ: اَرَأيْتَ لَوْ اَعْدَمْتَ هذِهِ الاَْجْزاءَ كُلَّها وَبَقِىَ الَّذي في الْمَرْكَزِ وَالْمُحيطِ؟ اَهَلْ كانَ بَيْنَهُما اِسْتِقامَةٌ يُمْكِنُ اَنْ يُطَبَّقَ عَلَيْهِ هذا الْخَطّ؟ فَاِنْ لَمْ يُجَوِّزُوا ذلِكَ فَقَدْ خَرَجُوا عَنِ الْبَيِّنِ بِنَفْسِهِ، وَاَوْقَعُوا اَنْفُسَهُمْ في شُغْل آخَرَ وَهُوَ اَنَّهُ يُمْكِنُ اَنْ تُفْرَضَ مَواضِعَ مَخْصُوصَةً فيها تَتِمَّ هذِهِ الاِْسْتِقامَةُ فِى الْخلاَِ الّذي لَهُمْ، حَتّى يَكُونَ بَيْنَ جُزْئَيْنِ فِى الْخَلاَِ اِسْتِقامَةٌ، وَبَيْنَ جُزْئَيْنِ آخَرَيْنِ لا يَكُونُ. وَهذا شَطَطٌ مُمْكِنٌ يَتَكَلَّفُهُ وَيُجَوِّزُ الْقَوْلَ بِهِ، فَلا ضَيْرَ، فَاِنَّما يَبيعُ عَقْلَهُ بِثَمَن بَخْس. فَاِنَّ الْبَديهةَ اَيْضاً تَشْهَدُ اَنَّ بَيْنَ كُلِّ جُزْئَيْنِ تَتَّفِقُ مُحاذاةٌ لا مَحالَةَ يَمْلاَُها مِنَ الْمَلاَِ اَقْصَرُ الْمَلاَِ، اَوْ اَقْصَرُ بُعْد فِى الْمَلاَِ. وَاِنْ قالُوا: اِنّ ذلِكَ يَكُونُ، وَلكِنْ مادامَتْ هذِهِ الاَْجْزاءُ مَوجُودَةً فَلا يَكُونُ بَيْنَهُما هذِهِ الْمُحاذاةُ، وَلا يَجُوزُ اَنْ يُوازِىَ طَرَفَيْها طَرَفا مُسْتَقيم، فَهذا اَيْضاً مِنْ ذلِكَ. فَتَكُون(1) كَأَنَّ تِلْكَ الاَْجْزاءَ اِنْ وُجِدَتْ تَغَيَّر حُكْمُ الْمُحاذاةِ عَنْ حُكْمِهِ لَوْ كانَتْ مَعْدُومَةً، وَجَميعُ هذا مِمّا لا يُشْكِلُ عَلَى الْبَديهَةِ بُطْلانُهُ وَلاَ الْوَهْم (2) ـ الَّذي هُوَ الْقانُونُ فِى الاُْمُورِ

---

1. در بعضى از نسخه‌‌ها، همچون نسخه چاپ قاهره، اين جمله «فتكون كأن...» سر سطر آورده شده، در حالى كه دنباله مطلب قبلى است.

2. كلمه «وهم» را كه آورده، در پرانتز آن را توضيح داده به اينكه: در امور محسوس قضاوت با وهم است. در كلّيات، عقل حاكم است. و در جزئيّات، وهم جانشين عقل مى‌‌شود و قضاوتش در چنين مواردى، حق است. چنين نيست كه وهم هرچه قضاوت كند باطل باشد. قاضى حق در امور محسوس، وهم است. و وهم نمى‌‌تواند چنين چيزى را فرض كند كه بين دو نقطه‌‌اى كه شعاعى رسم شده، نتوان شعاع ديگرى را در كنارش رسم كرد. «وهم» چنين چيزى را انكار نمى‌‌كند و از تصوّر آن ابائى ندارد.

المحسوسة و ما يتعلّق بها، كما علمت ـ يتصوره. على اَن الاجزاء التى لا تتجزأ لا تتألف منها بالحقيقة لا دائرةٌ و لا غيرُ دائرة، و انما هذا على قانون القائلين به.

از يك نقطه نمى‌‌توان چند خط به محيط دايره رسم كرد!

ممكن است كسى بگويد: آنچه را شما در باب همسان‌‌سازى سطح دايره گفتيد در صورتى درست است كه بتوان دو شعاع در دايره رسم كرد و يكى را بر ديگرى تطبيق نمود و گفت اين بزرگتر است يا كوچكتر!

امّا، اگر نتوان با رسم كردن نخستين خط، خط ديگرى را در كنار آن رسم كرد، آنگاه آنها را با هم مقايسه نمود و گفت اين كوچكتر است و آن بزرگتر! چنانكه مستشكل همين عقيده را دارد و مى‌‌گويد به محض اينكه اوّلين خط را رسم كرديم، اين خط، مركزِ دايره را به محيط وصل مى‌‌كند، و در اين صورت، مركز دايره پر شده است و ديگر نمى‌‌توان خط ديگرى را بر روى آن كشيد به گونه‌‌اى كه يك طرف آن روى مركز باشد و طرف ديگر آن به جزء ديگرى از محيط وصل شود ـ در اين صورت، جايى براى مقايسه باقى نمى‌‌ماند تا در اثر آن با افزودن يا كاستن «جزء لا‌‌يتجزّى»، كار همسان سازى انجام شود.

امكان رسم چند خط از مركز به محيط دايره

در پاسخ مىگوييم: شما پس از آنكه خط نخستين را رسم كرديد، دايره را از اساس معدوم كنيد به گونه‌‌اى كه فقط نقطه مركزى و نقطه بعدى در محيط

باقى بماند. شعاع نخستين به نقطه «الف» در محيط دايره، وصل شده بود؛ حال، پس از آنكه كل دايره را معدوم فرض كرديم و تنها مركز آن را بانقطه «ب» كه بعد از «الف» است باقى انگاشتيم، مى‌‌پرسيم آيا بين اين مركز و آن نقطه «ب» مى‌‌توان خط مستقيمى را وصل كرد يا نه؟ اگربگوييد مى‌‌توان چنين خطى را رسم كرد، مى‌‌گوييم چنانچه خط «الف»هم باشد ضررى به آن نمى‌‌زند. اگر بگوييد، نمى‌‌توان چنين خطّى را رسم كرد، در اين صورت مى‌‌گوييم يك امر بديهى را انكار كرده‌‌ايد.زيرا، وقتى خط نخستين رسم شد، فرض مى‌‌كنيم آن خط نيست، در اين صورت آنچه باقى مى‌‌ماند، نقطه‌‌اى در مركز است و نقطه‌‌اى هم در محيطِ دايره و در كنار نقطه پيشين؛ در چنين فرض، كه مى‌‌توان خطى را رسم كرد آن را با خط قبلى مقايسه مى‌‌كنيم و مى‌‌گوييم طول آندو، به يك اندازه است يا نه؟

اگر بگوييد چنين چيزى ممكن نيست، در واقع انكار بديهى كرده‌‌ايد و به تعبير شيخ عقل خويش را به ارزانترين قيمت فروخته‌‌ايد.

توضيح اشكال در قالب عبارت متن

فان قال قائل: در صورتى كه شعاعى بين جزء مركزى با جزءِ محيطى رسم شود، ديگر نمى‌‌توان شعاع ديگرى را در كنار آن رسم كرد؛ خواه به مماسّه باشد، خواه به موازات. ـ يعنى بنابر همان دو فرضى كه در كلام شيخ آمده بود: چه بگوييم شعاع دوّم، مماس با شعاع نخست است، چه بگوييم موازىِ آن است؛ هركدام از ايندو باشد، رسم شعاعِ دوّم، ممكن نخواهد بود ـ اين گوينده مى‌‌گويد: خطى كه موازى خط اول باشد و جزء مركزى را با جزئى كه در محيط در كنار جزء قبلى قرار گرفته است وصل كند ‌‌يعنى شعاع دوّم‌‌ـ را نمى‌‌توان رسم كرد.

در پاسخ اين گوينده، مى‌‌گوييم: پس از آنكه شعاع نخست را رسم كرديم، اگر فرض كنيم كه همه اجزاى اين دايره از بين برود و تنها نقطه مركزى و جزء دوّم محيط باقى بماند، در اين صورت آيا مى‌‌توان خط مستقيمى را بين نقطه مركزى با آن جزء دوّم كه باقى مانده فرض كرد يا نه؟

اگر بگوييد نمى‌‌توان چنين خطّى را فرض كرد، امر بديهى و بيِّن بالذات را انكار كرده‌‌ايد؛ و اگر بگوييد: در صورت خالى بودن دايره از اجزاء فعلى مى‌‌توان چنين خطّى را فرض كرد امّا با وجود آنها نمى‌‌توان چنين خط موازى را فرض كرد، در واقع خود را به شغل ديگرى در افكنده‌‌ايد و از بحث عقلانى بيرون رفته‌‌ايد.

به هر حال، اين سخن، مكابره آشكار است. زيرا، فرقى نيست در اينكه دو جزء را در خلأ فرض كنيم به گونه‌‌اى كه ساير اجزاء از بين رفته باشند، آنگاه خطى را از مركز به جزء نخست و پس از آن خطى را به جزء دوّم، وصل كنيم؛ يا اينكه خلائى را در نظر نگيريم و خطّى را پس از خط نخست از مركز به محيط، رسم كنيم.

كسى كه اين سخن را مى‌‌گويد، سخن نامربوطى را مى‌‌گويد، او از روى تكلّف اين سخن را مى‌‌گويد و چنين مطلبى را تجويز مى‌‌كند. البته، چنين سخنانى براى ما زيانى ندارد. اين گوينده است كه با بيان اين امور، عقل خويش به ارزانترين قيمت مى‌‌فروشد.

حقيقت با گواهى عقل به نحو آشكار اين است كه هر جا دو جزئى وجود داشته باشد، بين اين دو جزء را كوتاهترين مَلاَ، مى‌‌تواند پُر كند.(مَلاَ در مقابل خَلاَ) و كوتاهترين خط (خط مستقيم) را مى‌‌توان بين آنها رسم كرد. شما آشكارا مى‌‌توانيد كوتاهترين اجزائى را از ملأ در نظر بگيريد كه دو جزء مذكور را به هم وصل كند، يا كوتاهترين بُعدى را فرض كنيد كه آن دو نقطه را به هم متصل سازد. هر عقلى به طور بديهى امكان اين مطلب را تصديق مى‌‌كند.

اشكال ديگر

اگر بگوييد: مى‌‌پذيريم كه وقتى دو نقطه وجود داشته باشد، كوتاهترين ملأ مى‌‌تواند بين آندو را پر كند. يا كوتاهترين بُعد و خطِ مستقيم مى‌‌تواند آندو را به هم وصل كند. امّا، وقتى يكى از آنها رسم شد، دوّمى ديگر رسم نمى‌‌شود. به عبارت ديگر، نمى‌‌توان محاذى آن، خط ديگرى را رسم كرد. يعنى دو طرف يك خط مستقيم نمى‌‌تواند موازى دو طرفِ خط پيشين باشد.

پاسخ مصنف

مصنف مىگويد: اين سخن هم از قبيل همان سخنان نامربوط است. بدليل اينكه خطِ بعدى ضرر و زيانى براى خط قبلى ندارد؛ و از يك نقطه مى‌‌توان هزاران خط بلكه بى‌‌نهايت خط رسم كرد.

اين مطالب، از چيزهايى است كه بطلانش به طور بديهى بر عقل آشكار است. «وهم» نيز كه در امور محسوس، قضاوت مى‌‌كند نمى‌‌تواند ترسيم شعاع ديگرى را در كنار شعاعِ پيشين، ردّ كند. «وهم» چنين چيزى را انكار نمى‌‌كند و از تصوّر آن ابائى ندارد.

نكته: مصنف، در اين قسمت نكته‌‌اى را به ياد مى‌‌آورد، كه توجه به آن لازم است. و آن اينكه دراستدلالى كه ما براى اثبات دايره كرديم بر «جزء لايتجزّى» تكيه شد. امّا، اين در واقع بر اساس مبناى طرفِ مناظره بود. وگرنه، چنانچه جزء لا‌‌يتجزّى وجود داشته باشد؛ نه دايره از آن تشكيل مى‌‌شود و نه غير دايره. اينكه ما گفتيم براى از بين بردن تضريس، يك جزء لا‌‌يتجزّى در خُلل و فُرج نهاده مى‌‌شود؛ يك بحث جدلى با كسانى بود كه قائل به جزء لا‌‌يتجزّى هستند و دايره حقيقى را انكار مى‌‌كنند. وگرنه به عقيده ما «جزء لا‌‌يتجزّى» خودش از جمله ممتنعات به شمار مى‌‌رود. بنابراين، بحث‌‌هاى ما بر اساس نظر قائلين به اجزاء لا‌‌يتجزّى بوده است.

وَ اِذَا صَحَّتْ دائِرَةٌ صَحَّتِ الاَْشْكَالُ الْهِنْدسيَّةُ فَيَبْطُلُ الْجُزْءُ، وَ يُعْلَمُ ذلِكَ مِنْ اَنَّ كُلَّ خَطٍّ يَنْقَسِمُ بِقِسْمَيْنِ مُتَساوِيَيْنِ، وَ أنَّ قُطْراً لا يُشارِكُ ضِلْعاً وَ ما اَشْبَهَ ذلِكَ، فَاِنَّ الْخَطَّ الْفَرْدَ الاْجْزاءَ لا يَنْقَسِمُ بِقِسْمَيْنِ مُتَساوِيَيْنِ، وَ كُلُّ خَطٍّ مُؤَلَّف مِنْ اَجْزاء لا تَتَجَزَّأٌ يُشارِكُ كُلَّ خَطٍّ، وَ هذا خِلافُ ما يُبَرْهَنُ عَلَيْهِ بَعْدَ وَضْعِ الدّائِرَةِ، وَ كَذلِكَ اَشْياءُ اُخْرى غَيرُ هذا.

جايگاه اصلى اثبات وجود دايره و ساير شكل‌هاى هندسى

مصنف، تاكنون يك بيان جدلى را در برابر كسانى كه منكر وجود دايره هستند بيان كرد و بر اساس اصول ايشان، استدلال نمود؛ و به اين نتيجه رسيد كه وجود دايره، ممكن است؛ علاوه بر آنكه امكان ذاتى دارد امكان وقوعى نيز دارد.

مقصود از اثبات وجود دائره همين است كه بتوان دائره‌‌اى را بوجود آورد، و ايجاد كردن آن، مستلزماشكال عقلى نباشد. به نظر مصنف، پس از آنكه دايره اثبات گرديد، مى‌‌توان ساير شكلهاى هندسى را نيز اثبات نمود. امّا، چگونگى اثبات ساير شكل‌‌ها در هندسه صورت مى‌‌پذيرد. اينجا تنها اشاره‌‌اى مى‌‌شود به اينكه پس از اثبات دايره، مى‌‌توان دو شعاع براى دايره رسم كرد، آنگاه بين آن دو شعاع را با يك خط مستقيم وصل كرد؛ و بدينسان، مثلث را پديد آورد.

راه نخست براى ابطال «جزء لايتجزّى»

براى اين منظور مى‌‌توان يك مثلث متساوى‌‌الاضلاع را در نظر گرفت، كه چنانچه از رأس اين مثلث به قاعده، خطى رسم شود، آن را به دو قسم، تقسيم خواهد كرد. يعنى ارتفاع دايره همواره، قاعده را در مثلث متساوى الاضلاع به دو جزء متساوى تقسيم مى‌‌كند. اين خط را

مى‌‌توان از هر رأسى به ضلع برابر آن، رسم كرد، و در اثر آن، ضلع را به دو قسم متساوى، تقسيم نمود. بنابراين، ثابت مى‌‌شود كه هر خط مستقيمى از آن رو كه مى‌‌تواند ضلع، يا قاعده‌‌اى براى مثلث قرار گيرد، قابل تقسيم به دو قسم متساوى نيز مى‌‌باشد. امّا، اگر قائل به «جزء لايتجزّى» شويم و چنين بينگاريم كه خطى از هفت «جزء لا‌‌يتجزّى» تشكيل شده، آن خطى كه به وسط اين خط برمى‌‌خورد و آن را قطع مى‌‌كند، آن را به دو قسم، تقسيم مى‌‌كند. در يك طرفِ خط، سه جزء باقى مى‌‌ماند و در طرف ديگر آن نيز سه جزء! جزءِ وسط چه مى‌‌شود؟! لاجَرَم، آن خط بايد وسطِ اين جزء قرار گيرد. در نتيجه، اين جزء نيز بايد قابل انقسام به دو قسم باشد؛ تا خط مذكور بتواند اين جزء را هم تنصيف نمايد. وگرنه، در يك طرف، سه جزء قرار مى‌‌گيرد و در طرف ديگر چهار جزء! و اين تنصيفِ صحيح نيست.

بنابراين، همين كه هر خطى قابل قسمت به دو جزء مساوى است، خود، ابطال كننده «جزء لا‌‌يتجزّى» است.

راه ديگر براى ابطال «جزء لا‌‌يتجزّى»:

در هندسه اثبات مى‌‌شود كه ميان ضلع مربع و قطر آن؛ يا ضلع مستطيل با قطر آن، تشارك نيست. به ديگر سخن: عادِّ مشترك نخواهند داشت. نسبت خاصى ميان ضلع و قطر وجود ندارد، از اين رو، مشاركتى ميان ضلع و قطر نمى‌‌باشد. در نتيجه از «اجزاء لايتجزّى» تشكيل نمى‌‌شوند. زيرا، اگر چيزى از «اجزاء لايتجزّى» تشكيل شود، «جزء لايتجزّى»، عادِّ آن خواهد بود. و وقتى عادّ آن باشد، در هر دو وجود خواهد داشت؛ در نتيجه، آن دو در اين جزء، مشارك خواهند بود.

بنابراين، برخى از اضلاع و مقاديرى كه مشارك نيستند و عادّى ندارند، اصمّ مى‌‌باشند. و اين، دليل آن است كه «جزء لا‌‌يتجزّى» وجود ندارد.

حال، اگر اصول موضوعه اين مطلب اثبات شود كه ميان ضلع و قطر، مشاركت وجود ندارد؛ در اين صورت، «جزء لا‌‌يتجزّى» هم ابطال مى‌‌شود.

وَ اَمّا اِثْباتُ الدّائِرَةِ عَلى اَصْلِ الْمَذْهَبِ الْحَقِّ فَيَجِبُ اَنْ نَتَكَلَّمَ فيهِ، وَ اَمَّا الاِْسْتِقامَةُ وَ وُجُوبُ مُحاذاة بَيْنَ طَرَفَيْ خَط اَذا لَزِمَهُ الْمُتَحَرِّكُ لَمْ يَكُنْ حايِداً، وَ اِنْ فارَقَه كانَ حائداً عادِلا، فَذلِكَ اَمْرٌ لا يُمْكِنْ دَفْعُهُ.

مطالب صحيح در استدلال جدلى

اما اثبات الدائره: گرچه ما بايد دائره را بر اساس مذهب حق كه همان قول به جزء قابل تجزّى است اثبات كنيم. لكن برخى مطالب كه تاكنون در استدلال جدلى بيان كرديم، آنها نيز قابل دفع نيستند، آنها مطالب صحيحى مى‌‌باشند. امّا، استقامت كه در بحث جدلى بر آن تكيه كرديم، همچنين وجوب محاذات بيندو طرف يك خط [يعنى خطى كه بين دو نقطه (مركز و محيط دايره) رسم شده، و خط ديگرى كه محاذى آن قرار مى‌‌دهيم. اين دو خط محاذى يكديگرند؛ اما، اگر يكى از آنها در يك طرف خود حركت كند و در طرف ديگرش ثابت بماند، از محاذات بيرون رفته به صورت خطِ مايل در مى‌‌آيد.] اين مطالب، قطعى بوده و قابل انكار نيست.

توضيح عبارت

ضمير «لزمه» به «الخط» بر مى‌‌گردد و منظور از «المتحرك» «خطٌّ آخر» است. يعنى خطّ ديگرى كه متحرك است اگر ملازم با خط نخست باشد؛ اين محاذات همواره محفوظ خواهد بود. و معناى «و لم يكن حايدا» اين است كه: ديگر ميل نمى‌‌كند از محاذات. «و ان فارقه كان حايداً عادلا» يعنى اگر اين خطّ متحرك در يك طرفِ خود، از خط نخستين مفارقت كرد؛ خطى مايل مى‌‌شود. «فذلك امرٌ لا يمكن دفعه» يعنى اينها مطالب صحيحى است كه

نمى‌‌توان انكار كرد. صرفاً به عنوان الزام خصم گفته نشده، بلكه خودِ مطالب نيز صحيح مى‌‌باشند.

توضيح مطلب

تاكنون بر اساس شيوه جدلى، دايره را اثبات كرديم؛ يعنى قائلين به «جزء لايتجزّى» را الزام كرديم به اينكه بايد وجود دايره را بر اساس اصول خودشان بپذيرند. امّا، اين بدان معنا نيست كه همه مقدماتى كه در اين استدلالِ جدلى بكار برديم، ذاتاً باطل بوده‌‌اند.

البته، در ضمن بحث جدلى مطالب نادرستى بود كه ما از خصم پذيرفتيم و بحث و استدلال را بر آنها بنا نهاديم؛ از جمله وجود دايره مضرّس را از خصم پذيرفتيم، چنانكه از او پذيرفتيم كه مركز دايره، خود، يك «جزء لا‌‌يتجزّى» است. در حالى كه حقيقتاً اينچنين نبود. مع الوصف در لا به لاى بحث‌‌هاى ما، مطالبِ حقّى نيز وجود داشت. و آنها مى‌‌تواند اساس استدلالِ صحيحى را تشكيل دهد.

آرى، ما اينك بايد براى اثبات اين مطلب، از مقدمات ديگرى غير از مقدمات جدلى، استفاده كنيم وبرهان اقامه كنيم. و اين بدان معنا نيست كه همه آنچه در بحث گذشته گفتيم باطل بوده است. از جمله مطالب صحيحى كه در بحث گذشته گفتيم، مسأله استقامت بود؛ كه طىّ آن بيان كرديم كه ممكن است بين مركز دايره و محيط آن، يك خط مستقيم، رسم كرد. و اين مطلبى است كه هم ما مى‌‌پذيريم و هم خصم؛ و در واقع، مطلب صحيحى است.

مطلب ديگر آن بود كه دو نقطه با هم محاذات داشته باشند؛ چنانكه يك نقطه در مركز دايره باشد و نقطه ديگر در محيط آن؛ آنگاه، پس از آنكه خط مستقيمى آن دو را به هم وصل كرد، خط ديگرى را فرض كنيم كه اگر آن را به

گونه‌‌اى حركت دهيم كه يك طرف آن ثابت و طرف ديگر آن متحرك باشد به صورت خط مايل در مى‌‌آيد؛ و به جزء دوّم و نقطه ديگر در محيط دايره وصل مى‌‌شود. بنابراين، خط دوّم، نسبت به خط اوّل، موازى نخواهد بود بلكه مايل خواهد بود. اين مطلب هم، مطلب حقّى بود كه در استدلال جدلى آورديم.

البته، اثبات دايره بر اساس مذهب حقّ كه همان قول به جزء قابل تجزّى است، همچنان بر عهده ما باقى مانده است.

فَنَقُولُ: قَدْ تَبَيَّنَ فِى الطَّبيعيّاتِ مِنْ وَجْه وُجُودُ الدّائِرَةِ، وَ ذلِكَ لاَِنَّهُ تَبَيَّنَ لَنا اَنَّ جِسْماً بَسيطاً،(1) وَ تَبَيَّنَ اَنَّ كُلَّ جِسْم بَسيط فَلَهُ شَكْلٌ طَبيعىٌّ، وَ تَبَيَّنَ اَنَّ شَكْلَهُ الطَّبيعىَّ هُوَ الَّذي لا يَخْتَلِفُ اَلْبَتَّةَ في اَجْزائِهِ، وَ لا شَىَْ مِنَ الاَْشْكالِ الْغَيْرِ الْمُسْتَديرَةِ كَذلِكَ. فَقَدْ صَحَّ وُجُودُ الْكُرَةِ وَ قَطْعُها بِالْمُسْتَقيمِ هُوَ الدّائِرَةُ فَقَدْ صَحَّ وُجُودُ الدّائِرَةِ.

برهان نخست بر اثبات دايره

مصنف، دو برهان بر اثبات وجود دايره اقامه مى‌‌كند. يكى از آن دو، بر اساس مسائلى است كه در طبيعيات مطرح شده و در اينجا به طور مختصر اشاره‌‌اى به آن مطالب مى‌‌كند؛ حاصل آن چنين است:

1ـ در طبيعيات قديم وجود جسم بسيط اثبات شده است. منظور از جسم بسيط اجسام فلكى يا اجسام عنصرى است كه كاملا خالص باشند. به هر حال، در اين جهان، جسم بسيط وجود دارد (اين مقدمه نخست)

2ـ شكل آن، شكل طبيعى است. زيرا، هيچ عاملى نيست كه به آن شكل

---

1. درباره تركيب اين جمله، محشّين بحث كرده‌‌اند. امّا، اگر كلمه «ان» مقدم باشد، مسأله بى‌‌اشكال مى‌‌شود، و جمله اينچنين مى‌‌شود: «لانّه تبيّن ان لنا جسماً بسيطا» يعنى در طبيعيات روشن شده كه ما جسم بسيطِ طبيعى داريم.

دهد و در تشكّل آن مؤثر باشد. جز همين عنصر طبيعى و بسيطى كه دارد پس، جسم بسيط بايد شكلش طبيعى باشد. (اين مقدّمه دوّم).

3ـ مقدمه سوّم اين است كه همه اجزاء شكل طبيعى بايد متشابه باشد؛ با هم هيچ تفاوتى نداشته باشند.

نتيجه: نتيجه‌‌اى كه از مقدمات بالا بدست مى‌‌آيد اين است كه تنها شكلى كه مى‌‌تواند شكل طبيعى باشد در سطح، دايره است و در حجم، كُره است. زيرا، هر شكلِ ديگرى را در نظر بگيريم، اجزائش متشابه نخواهد بود. تنها دايره است كه در سطوح، همه اجزائش متشابه‌‌اند. از اين رو، هرگاه از مركز تا محيط، خطى را رسم كنيد، همه جا آنرا مساوى خواهيد يافت. امّا، در مثلث چنين كارى را نمى‌‌توانيد انجام دهيد. چنانكه در مربع و ساير شكلهاى مسطّح نيز نمى‌‌توانيد چنين كنيد. همچنين در شكلهاى حجم‌‌دار، تنها كُره است كه همه اجزائش متشابه‌‌اند. لذا، هرگاه در كُره، شعاعى را از مركز تا محيط آنفرض كنيد ‌‌چنانكه تا بى‌‌نهايت شعاع مى‌‌توان در آن فرض كرد‌‌ـ همه آنها مساوى خواهند بود. هيچ فرقى بين اجزاء نيست. بنابراين، تنها شكلى كه به صورت طبيعى است؛ شكل كُره است. و چون جسم بسيط مى‌‌بايست شكل طبيعى داشته باشد از اين رو، بايد شكلش كروى باشد. زيرا، هيچ عاملِ ديگرى در تشكّلِ آن دخالت ندارد. و اينچنين بوده است كه كروى بودن افلاك را اثبات كرده‌‌اند. و اين مطلبى است كه در طبيعيات بر اساس مبانىِ پيشينيان اثبات مى‌‌شده است؛ كه البته، فى‌‌الجمله قابل مناقشه است؛ و بر اساس مبانى جديد طبيعى نمى‌‌توان بر آن اعتماد كرد.

توضيح برهان نخست در قالب عبارت متن

«فنقول:...» در طبيعيات از يك راه، وجود دايره اثبات شده است. و آن اينكه:

الف ـ بر اساس آنچه در طبيعيات آمده، روشن است كه در عالم، جسم بسيط وجود دارد. (مقدمه نخست).

ب ـ جسم بسيط بايد داراى شكلى طبيعى باشد. (مقدمه دوّم).

ج ـ شكل طبيعى نبايد اختلاف اجزاء داشته باشد. بلكه بايد اجزائش متشابه باشد.

تنها شكلى كه تشابه اجزا دارد در سطوح، شكل دايره است و در مجسَّمات و حجم‌‌ها، شكل كُره است. به جز دايره و كره، هيچ شكلى كه اجزائش متشابه باشد و بين اجزاء آن، اختلاف نباشد، وجود ندارد.

بنابراين، جسم بسيط بايد داراى شكل كروى باشد. پس از آنكه وجود كره اثبات شد، مى‌‌گوييم: مى‌‌توان وسط كره را بريد يا فرض كرد كه از وسط بريده شده، خطّى كه كره را از وسط به دو قسمِ مساوى تقسيم مى‌‌كند، در واقع يك دايره خواهد بود. دايره، خطّى است كه منصِّفِ كُره است. البته، منصِّف كُره، بزرگترين دايره‌‌اى است كه در كره رسم مى‌‌شود؛ وگرنه هر قسمت از كره را ببريم، دايره پديد مى‌‌آيد. بزرگترين دايره وقتى پديد مى‌‌آيد كه كُره از وسط به دو نيم تقسيم شود. لكن بُرِش‌‌هايى كه به كُره داده مى‌‌شود بايد مستقيم باشد نه به صورت كج و منحرف يا دندانه‌‌دار.

وَ اَيْضاً يُمْكِنُنا اَنْ نُصَحِّحَ ذلِكَ فَنَقُولُ: مِنَ الْبَيِّنِ اَنَّهُ اِذا كانَ خَطٌّ اَوْ سَطْحٌ عَلى وَضْع مّا فَلَيْسَ مِنَ الْمُسْتَحيلِ اَنْ يُفْرَضَ لِسَطْح آخَرَ اَوْ خَطٍّ آخَرَ اَنْ يَكُونَ وَضْعُهُ بِحَيْثُ يُلاقيهِ مِنْ اَحَدِ طَرَفَيْهِ عَلى زاوِية. وَ مِنَ الْبَيِّنِ اَنَّهُ يُمْكِنُنا اَنْ نَنْقُلَ هذا الْجِسْمَ اَوْ هذا الْخَطَّ نَقْلا كَيْفَ شِئْنا اِلى اَنْ يَصيرَ مُلاقِياً لِذلِكَ الاْخَرِ اَوْ مَوْضُوعاً في مَوْضِعِهِ، كَأنَّهُ يُحاذيهِ بِجَميعِ اِمْتِدادِهِ مُلاقِياً لَهُ اَوْ مَوْضُوعاً في مَوْضِعِهِ اَوْ مُوازِياً.

وَ يُمْكِنُ لِجِسْم واحِد بِعَيْنِه اَنْ يُوضَعَ عَلى وَضْع ثُمَّ يُوضَع عَلى وَضْع آخَرَ يُقاطِعُهُ وَ الْكَلامُ فِى الْجِسْمَيْنِ وَ الْجِسمِ الْواحِدِ واحِدٌ. فَاِنْ كانَتْ اِسْتِقامَةٌ وَ لَمْ تَكُنْ اِسْتِدارَةٌ لَمْ يُمْكِنْ هذا اَلْبَتَّةَ، لاَِنَّه اِذا كانَتِ الْحَرَكَةُ اِلَى الاِْنْطِباقِ عَلَى الاِْسْتِقامَةِ ذاهِبَةً فِى الطُّولِ ثُمَّ راجِعَةً اىَّ الرُّجُوعاتِ كانَتْ، اَوْ ذاهِبَةً فِى

السَّمْكِ راجِعَةً كَيْفَ كانَتْ، اَوْ ذاهِبَةً عَرْضاً مِنَ الْجِهَتَيْنِ اَوْ كَيْفَ فُرِضَتْ، فَاِنَّهُ اَذا كانَ تَحْفَظُ النُقْطَةُ الَّتي تُفْرَضُ عَلى واسِطَةِ السَّطْحِ اَوِ الْخَطِّ في تَحْريكِها خَطّاً مُسْتَقيماً، فَاِنَّه لا يَلْقى اَلْبَتَّةَ ذلِكَ الْجِسْمَ، بَلْ يُقاطِعُهُ كَيْفَ كانَ.

وَ اَنْتَ يُمْكِنُكَ اَنْ تَفْرُضَ كُلَّ واحِد مِنْ هذِهِ الاَْقْسامِ بِالْفِعْلِ وَ تَعْتَبِرُهُ، بَلْ يَجِبُ آخِرَ الاَْمْرِ اَنْ تَتَّفِقَ حَرَكَتُهُ عَلى صِفَة اَذْكُرُها. اِمّا اَنْ يَكُونَ اَحَدُ الطَّرَفَيْنِ فيها مِنَ الْخَطّ اَوِ السَّطْحِ اَوِ الْجِسْمِ لازِماً مَوْضِعَهُ، وَ الاْخَر يَنْتَقِل، وَ ذلِكَ عَلَى الدَّوْرِ:(1) اَوْ كِلاهُما يَنْتَقِلان، وَ لكِنْ عَلى صِفَةِ اَنْ يَكُونَ اَحَدَهُما اَبْطَأَ وَ الاْخَرُ اَسْرَعُ:فَيَكُونُ الطَّرَفانِ اَوِ الْمُتَحَرِّكُ وَحْدَهُ عَلى كُلِّ حال يَفْعَلُ قَوْسَ دائِرَة. وَ اِذا صَحَّ وَجُودُ قَوْسِ دائِرَة صَحَّ اَنْ يُضْعَفَ اِلى التَّمامِ، وَ هذا عَلَى الاُْصُولِ الصَّحيحَةِ. وَ اَمّا إنْ قالَ اَحَدٌ بِالتَّفْكيكِ، فَالطَّريقَةُ الاُْولى تُناقِضُهُ.

برهان دوّم بر اثبات دايره

حاصل برهان دوّم اين است: سطحى مستوى را در نظر بگيريد، به طور مثال سطح ميز را در نظر آوريد،آن سان كه جسمى به طور ايستاده بر روى آن قرار گرفته باشد؛ چنانكه فرضاً كتابى روى آنها نهاده شده باشد. در اينجا آيا مى‌‌توان كتاب را به گونه‌‌اى حركت داد كه درست منطبق بر سطح ميز گردد؟ در عمل مى‌‌بينيم كه چنين كارى شدنى است. مى‌‌توان كتاب را به گونه‌‌اى حركت داد كه بر روى ميز منطبق گردد. براى اين كار، حركتى لازم است. اين حركت وقتى انجام مى‌‌گيرد كه همراه آن يك قوس رسم شود. اگر بخواهيد اين كتاب كه بر روى ميز قرار گرفته ثابت بماند، وقتى آن را به طرف ميز حركت مى‌‌دهيد يك قوس نود درجه رسم مى‌‌شود. اين قوس را چهار برابر مى‌‌كنيد تتميم مى‌‌شود، در نتيجه دايره ساخته مى‌‌شود.

بنابراين، وقتى يك قوس منظم كه انحنائش طبق انحناء دايره، منظم است

---

1. يعنى يك خط دورانى رسم مى‌‌شود كه اگر تتميم شود، دايره بوجود مى‌‌آيد.

ترسيم مى‌‌شود، مى‌‌توان پس از آن يك قوس نود درجه ديگر را بدان افزود، و بدينسان نيم دايره درست كرد. آنگاه با افزودن يك نيم دايره ديگر كه همانند نيم‌‌دايره پيشين باشد يك دايره كامل رسم مى‌‌شود. بنابراين، خط دايره‌‌اى يعنى قوسى كه بتواند بخشى از يك دايره قرار گيرد و با تتميم آن، دايره كامل تشكيل گردد، لاجَرَم وجود خواهد داشت؛ زيرا، مى‌‌توان جسمى را بر روى جسم ديگر به گونه‌‌اى حركت داد كه كاملا بر آن منطبق گردد. در اين حركت، چاره‌‌اى نيست، جز آنكه يك قوس رسم شود. به هر شكل ديگرى آن را حركت دهيد، منطبق بر آن نمى‌‌شود.

به طور مثال كتابى كه به طور عمودى و ايستاده بر روى ميز قرار گرفته است، اگر آنرا به طرف بالا يا پائين، يا چپ و يا راست، حركت دهيد بر ميز منطبق نمى‌‌شود. امّا، اگر آن را به طرف ميز مايل كنيد و به اندازه‌‌اى به طرف پائين بياوريد كه بر روى آن قرار گيرد يا در محاذات آن (سطح ميز) واقع شود، در اين صورت، منطبق بر ميز خواهد بود. امّا، براى اين كار بايد يك طرف كتاب را ثابت نگهداريد، طرف ديگرش را به سمتِ پائين بياوريد كه در اين صورت يك خط منحنى رسم مى‌‌شود. بنابراين، حالتِ ايستاده و عمودىِ كتاب، جز با رسم منحنى به حالت افقى تبديل و تغيير نخواهد يافت.

پس، همين دليل آن است كه خط منحنى، صحيح است و دايره نيز مى‌‌تواند وجود داشته باشد.

توضيح برهان دوّم در قالب عبارت متن

«و ايضاً يمكننا...»

مقايسه دو سطح يا دو خط با هم: شما مى‌‌توانيد سطحى را در نظر بگيريد كه مى‌‌خواهيد آن را بر سطح ديگرى منطبق سازيد؛ يا خطى را در نظر آوريد كه

مى‌‌خواهيد بر خط ديگر منطبق كنيد. به طور مثال، سطح ميز وضع خاصى دارد يعنى اكنون به صورت افقى است. مى‌‌توان سطح ديگرى را روى آن به گونه‌‌اى قرار داد كه زاويه قائمه را پديد آورد. به ديگر سخن: سطح كتاب بر روى ميز به گونه‌‌اى قرار گيرد كه از موضع اتصال آن با ميز، يك زاويه قائمه بوجود آيد. «بحيث يلاقيه من احد طرفيه على زاوية» يعنى يك طرف اين جسم را كه روى ميز قرار مى‌‌دهيد، بگونه‌‌اى باشد كه با تلاقى با سطح ميز، يك زاويه تشكيل دهد. ـ البته، لزومى ندارد كه زاويه قائمه باشد مى‌‌توان آنرا به صورت مايل قرار داد تا زاويه حادّه يا زاويه منفرجه را پديد آورد؛ گرچه راحت‌‌ترين راه آن است كه جسم را منتصباً و به طور عمودى قرار دهيم كه طبعاً زاويه‌‌اش قائمه خواهد بود ـ «من البيّن انه يمكننا ان...» اكنون مى‌‌توانيم كتابى را كه بر روى ميز قرار داده‌‌ايم، به هر سو كه بخواهيم وضعش را دگرگون كنيم. آن را به گونه‌‌اى حركت دهيم كه با سطح ميز تلاقى كند.

«او موضوعاً فى موضعه» يا فرض كنيم اين سطحى كه اينجا است يعنى ميز را به جاى آن بگذاريم به گونه‌‌اى كه بجاى ميز، كتاب داراى سطح و وضع افقى باشد و ميز به صورت عمودى در آيد. حال، پس از آنكه بين دو جسم چنين مقايسه‌‌اى را انجام داديم اكنون مى‌‌توانيم اين جسم را بر روى آن جسم منطبق سازيم؛ يا به جاى آن بنهيم؛ تا به گونه‌‌اى قرار گيرد كه با همه امتدادش و با همه وسعتى كه دارد، محاذى با آن شىء يا ملاقى با آن گردد؛ و يا در جاى آن قرار گيرد و يا موازى با آن باشد.

تغيير وضع جسم واحد: از جسم اوّل، صرف‌‌نظر مى‌‌كنيم؛ همين كتاب را در نظر مى‌‌آوريم، مى‌‌توانيم آن را برگردانيم تا به وضع مايل در آيد. يا نخست به حال انتصاب و عمودى باشد، آنگاه آنرا به وضع خوابيده در آوريم به گونه‌‌اى كه نسبت اين دو وضع، نسبت دو شىء (خط يا سطح) مقاطع باشد. درست مانند دو خطى كه يكديگر را قطع مى‌‌كنند. «على وضع آخر يقاطعه». بنابراين،

فرقى نمى‌‌كند كه دو جسم را با هم مقايسه كنيم و بگوييم وضع اين جسم، مقاطع وضع جسمِ نخست باشد. يا اينكه يك جسم را در دو وضع در نظر بگيريم كه يك وضعِ آن، مقاطع وضع ديگر باشد.

«فان كانت استقامة و لم تكن استدارة...» اگر فرض كنيم در عالم، خط منحنى وجود ندارد و استداره‌‌اى در كار نيست؛ هرچه هست، تنها خط مستقيم است و بس! چنين وضعى هيچگاه تحقق نخواهد يافت،بدين سان اگر نخواهيد خط مستدير رسم كنيد تا در پرتو آن، قوسى پديد آيد، نمى‌‌توانيد با بالا بردن يا پائين آوردن يا اين سو و آن سو بردنِ كتاب آن را بر روى سطح نخست يا وضع نخست، منطبق نماييد؛ مگر آنكه با ميل كردن آن، قوسى پديد آيد.

«لانه اذا كانت الحركة...» زيرا، وقتى شما مى‌‌خواهيد اين جسم را حركت بدهيد تا بر جسم نخست منطبق گردد؛ اگر اين حركت به طور مستقيم (على الاستقامه) باشد و بنا بر فرض در جهتِ طولِ كتاب باشد، هرگز بر روى ميز منطبق نمى‌‌شود. چنانكه در جهت عرض نيز مطلب از اين قرار است. حركت در جهت يمين و يسار موجب انطباق كتاب بر سطح ميز نمى‌‌شود. همينطور اگر كتاب را در جهت ارتفاعِ (سمك) آن بالا ببريد، باز بر روى ميز قرار نمى‌‌گيرد. براى اينكه منطبق شود يا موازى سطح نخست گردد، لاجَرَم بايد يك حركت استداره‌‌اى به وجود آيد.

بنابراين، تا حركت به صورت خط مستقيم است، هرگز انطباق صورت نمى‌‌گيرد «فانه اذا كان يحفظ...» مادامى كه نقطه فرض شده در وسط سطح يا خطى كه مى‌‌خواهيد آنرا منطبق سازيد، در اثر حركت آن سطح يا خط، بر خط مستقيم حركت مى‌‌كند هيچگاه اين سطح بر روى آن سطح واقع نمى‌‌شود و موازىِ آن هم قرار نمى‌‌گيرد.

«بل يقاطعه كيف كان...» مادامى كه جهت حركت، خط مستقيم باشد،

هميشه اين سطح با آن سطح مقاطع خواهد بود؛ نه اينكه بر روى آن قرار گيرد و موازى آن شود.

«و انت يمكنك...» شما مى‌‌توانيد اين كار را تجربه كنيد. ببينيد آيا امكان دارد كه سطح كتاب به سطح روى ميز بچسبد و بر آن قرار گيرد بدون آنكه قوسى پديد آيد؟!

وقتى خوب تجربه كنيد سرانجام خواهيد ديد كه يكى از دو حال به وجود مى‌‌آيد:

الف. يا اين است كه ته كتاب را ثابت نگهداشته‌‌ايد و كتاب را بر روى ميز قرار داده‌‌ايد. در اين صورت، يك قوس نود درجه بوجود مى‌‌آيد. آنگاه با افزودن سه قوس نود درجه ديگر، يك دايره كامل بوجود مى‌‌آيد.

ب. يا اينست كه ته كتاب ثابت نمى‌‌ماند گرچه خود كتاب به طرف ميز مايل مى‌‌گردد؛ امّا، ته آن نيز به حركت در مى‌‌آيد. در اين صورت، قوس نود درجه پديد نمى‌‌آيد، ولى به هر حال يك خط منحنى ساخته مى‌‌شود.

«بل يجب آخر الامر... أذكرها» اين حركتى كه بوجود مى‌‌آيد تا كتاب بر سطح ميز منطبق گردد، خود، صفتى دارد كه اينك آن را برايتان باز مى‌‌گويم: «اما ان يكون...»

يعنى كتابى كه بر روى ميز نهاده شده دو طرف دارد. يك طرف آن به سطح ميز وصل شده است و طرف ديگر آن به سمت بالا قرار دارد. براى اينكه آن را بر روى ميز بخوابانيد؛ طرف پائين آن را ثابت نگه مى‌‌داريد و طرف ديگر آن را (سمت بالا را) بر روى ميز مايل كرده و مى‌‌خوابانيد. در نتيجه، خطّى كه ملاقى با سطح ميز است، از دو حال خارج نيست: يا اين است كه بر جاى خود ثابت و بدون حركت مى‌‌ماند و يا به گونه‌‌اى است كه وقتى مى‌‌خواهيد كتاب را بر روى ميز بخوابانيد، حركت مى‌‌كند. اگر چنان است كه هر دو طرف كتاب حركت مى‌‌كند، در اين صورت از هر طرف آن،

يك خط منحنى رسم مى‌‌شود. حال، اين دو خط منحنى مى‌‌تواند منظّم باشد به گونه‌‌اى كه قوس دايره‌‌اى را تشكيل دهد يا منظم نباشد. بستگى به كيفيت حركتِ آن دارد.

بر اساس آن فرض كه يك طرف بر جاى خود ثابت بوده، تكانى نخورد و از طرف بالا بخواهيم آن را بر روى ميز خم كنيم، در اين صورت، يك قوس نود درجه تشكيل مى‌‌شود. امّا، بر اساس فرض ديگر كه هم از طرف بالا آنها را تكان دهيم و هم از طرف پائين (كلاهما ينتقلان) امّا، به گونه‌‌اى كه يكى سريعتر بيايد و ديگرى كُندتر، عقب برود؛ و نظم كافى در بين نباشد؛ در اين صورت نيز دو قوس از دو طرف تشكيل مى‌‌شود.

و وقتى يك قوس دايره را پديد آورديد يعنى يك نود درجه، ساخته شد؛ در اين صورت مى‌‌توانيد نود درجه را دو برابر يا سه برابر و چهار برابرش كنيد تا يك دايره كامل پديد آيد. و اين مطلب، بر اساس اصول صحيحى است كه ما بدان قائل هستيم.

البته، ممكن است كسانى حرف‌‌هاى نامربوطى را مطرح كنند و بگويند: اگر جسمى بخواهد حركت كند و روى جسم ديگرى قرار گيرد، بايد اجزائش از يكديگر جدا شوند. گرچه ما نمى‌‌بينيم، ولى اين اجزاء، از هم جدا مى‌‌شوند! چنين سخنانى را طريقه نخستين (نفى جزء لا يتجزّى) كه بر اساس اصول صحيح استوار است، نقض مى‌‌كند.

وَ اَيْضاً لِنَفْرُضْ جِسْماً ثَقيلا وَ نَجْعَلْ اَحَدَ طَرَفَيْهِ اَثْقَلَ مِنَ الاْخَرِ، تَجْعَلُهُ قائماً عَلى سَطْح مُسَطَّح مُماسّاً لَه بِطَرَفِهِ الاَْخَفّ حَتّى يَقُومَ قائِماً عَلَيْهِ بِحيلَة، وَ اَنَتَ تَعْلَمُ اَنَّ قِيامَهُ اِذا عَدَلَ مَيْلُهُ اِلَى الْجِهاتِ مِمّا يَسْتَمِرّ، وَ اَنّهُ اِذا اُميلَ اِلى جِهَة وَ زالَ الدّاعِمُ حَتّى سَقَطَ فَتَحْدثُ دائِرة(1) لا مَحالَةَ اَوْ مُنْحَن.

---

1. منظور از دايره، خطّ منحنى منظّمى است كه هرگاه ادامه يابد، دائره كامل ساخته شود؛‌‌ و منظور از منحنى، قوسى است كه منظّم نباشد.

اَمّا كَيْفَ تَكُونُ، فَلْنَفْرُضْ نُقْطَةً فِى الرَّأْسِ الْمُماسِّ لِلسَّطْحِ، وَهِىَ اَيْضاً تَلْقى نُقْطَةً مِنَ السَّطْحِ، فَحينَئذ لا يَخْلُو اِمّا اَنْ تَثْبَتَ النُّقْطَةُ في مَوْضِعِها، فَتَكُونُ كُلُّ نُقْطَة تَفْرِضُها في رَأْسِ ذلِكَ الْجِسْمِ قَدْ فَعَلَتْ دائِرَةً:وَ اِمّا اَنْ يَكُونَ ـ مَعَ حَرَكَةِ هذا الطَّرَفِ اِلى اَسْفَلَ ـ يَتَحَرَّكُ الطَّرفُ الاْخَرُ اِلى فَوْق، فَيَكُونُ قَدْ فَعَلَ كُلُّ واحِد مِنَ الطَّرَفَيْنِ دائِرةً، وَ مَرْكَزُها النُّقْطَةُ الْمُتَّحددَةُ بَيْنَ الْجُزْءِ الصّاعِدِ وَالْجُزْءِ الْهابِطِ:وَ إمّا اَنْ تَتَحَرَّكَ النُّقْطَةُ مُنْجَرَّةً عَلى طُولِ السَّطْحِ، فَيَفْعَلُ الطَّرَفُ الاْخَرُ قَطْعاً او خطّاً مُنْحَنِياً.

توضيحى فزونتر درباره برهان...

اين بيان، چنانكه صدرالمتألهين(رحمه الله) نيز بدان اشاره كرده است؛ برهان جداگانه‌‌اى نيست، بلكه توضيحى است براى مطالب پيشين. اصول اين مطلب، همان مطالب گذشته است. تقرير آن چنين است:

هرگاه جسمى را فرض كنيد كه يك طرف آن سنگين‌‌تر و طرف ديگرش سبكتر باشد؛ چنانكه دسته هاونى را فرض كنيد كه يك طرف آن سنگينتر و طرف ديگر آن سبكتر باشد در صورتى كه قسمت سبكتر را روى زمين نهيد و بكوشيد كه تعادل را برقرار سازيد خواه آنچنان تعادل برقرار كنيد كه دقيق باشد و خودش به هيچ سويى نگرايد و پابرجا بر روى زمين بايستد، يا بوسيله امور خارجى، چاره‌‌اى برايش بينديشيد و به طور مثال اهرمى برايش در نظر بگيريد كه آن را از هر طرف نگهدارد. به هر حال، جسم به گونه‌‌اى قرار گيرد كه طرفِ سبكتر آن، روى زمين باشد و طرف سنگينتر آن بالا باشد.

آنگاه، اين تعادل را بر هم زنيد، مثلا تكانش بدهيد تا تعادلش بر هم خورد يا اهرم را برداريد تا تعادل پيشين از ميان برود؛ و جسم بر زمين افتد. اين افتادن به دو صورت است:

الف ـ به گونه‌‌اى اين افتادن و اين حركت اتفاق مى‌‌افتد كه آن طرفى كه بر

روى زمين ثابت بوده، پس از اين هم ثابت بماند. در اين صورت، يك قوس نود درجه تشكيل مى‌‌شود.

ب ـ صورت ديگر، آن است كه جسم مذكور به گونه‌‌اى حركت داده شود كه به همان نسبت كه يك طرفِ آن پائين مى‌‌رود، طرف ديگرش بالا مى‌‌رود. چنانكه به طور فرض طرفِ سبكِ آن پائين و طرفِ سنگين آن بالا است. آنگاه، به گونه‌‌اى آن را حركت دهيم كه در وسطِ آن، نقطه‌‌اى محفوظ بماند و بر اساس آن، وزنش به دو طرف، متعادل گردد. حال، اگر نقطه ياد شده دقيقاً در وسط باشد، طبعاً بخاطر نابرابرى وزنِ دو طرفِ آن، متعادل نمى‌‌شود. از اين رو، نقطه‌‌اى را بايد در نظر گرفت كه اين طرفِ آن با طرف ديگرِ آن، از نظر وزن مساوى باشد. اما وقتى تعادل بهم خورد، و يك طرف پائين رفت، طرف ديگر بالا برود. در چنين صورتى است كه با احتفاظِ وسطِ آن، قسمتى كه پائين مى‌‌رود يك نيم دايره تشكيل مى‌‌دهد. چنانكه قسمت ديگرش نيز كه بالا مى‌‌رود، يك نيم دايره تشكيل مى‌‌دهد. در نتيجه، دو طرفِ آن، مجموعاً يك دايره كامل را تشكيل مى‌‌دهد.

حاصل آنكه، اگر يك طرفِ آن ثابت باشد و طرف ديگرش حركت كند. يك قوس نود درجه تشكيل مى‌‌شود، وقتى آن را چهار برابر مى‌‌كنيم، يك دايره كامل، ساخته مى‌‌شود.

امّا، اگر نقطه‌‌اى از آن را در نظر بگيريم كه ثابت بماند، آنگاه به هر اندازه‌‌اى كه از يك طرف آن، پائين مى‌‌آيد، طرف ديگر آن، به همان اندازه بالا رود، يك نيم دايره در يك قسمت، و يك نيم‌‌دايره در قسمت ديگر به وجود مى‌‌آيد كه مجموعاً يك دايره كامل را تشكيل مى‌‌دهند.

چنانچه جسمى را كه يك طرف آن سنگينتر و طرف ديگر آن سبكتر است، بر روى يك سطح مستوى قرار دهيم، آنسان كه طرفِ سبك‌‌تر آن مماس با سطح باشد و بر روى سطح با هر حيله و تدبيرى كه مى‌‌انديشيم

بايستد. حتى اگر در اطرافِ آن اهرمهايى را بكار بريم كه آن را نگهدارند. در صورتى كه سرپا ايستادن آن، تعديل شود، استمرار مى‌‌يابد. چه، هرگاه تعادل جسمى حفظ شود، مدتها به همان شكل باقى مى‌‌ماند. مگر آنكه عامل خارجى تعادل آن را بر هم زند.

امّا، اگر تعادلِ آن به هم خورد و ميلش رو به سويى نهاد، چنانكه اهرمِ نگهدارنده آن از آن جدا شود، در اين صورت، بر زمين مى‌‌افتد. و در اثر چنين حركتى كه مى‌‌كند يا يك دايره پديد مى‌‌آيد؛ يعنى قوسى از دايره(1) يا منحنى‌‌اى كه منظّم نباشد به وجود مى‌‌آيد. به طور مثال بيضى يا شكل نامنظّمى كه دايره تمام بشمار نيايد پديدار مى‌‌گردد.

حال، چگونه اينچنين مى‌‌شود؟

جسم سنگينى كه طرفِ سبك آن بر روى سطح است، نقطه‌‌اى را بر روى طرف سبك آن در نظر بگيريد كه آن نقطه مماس با اين سطح باشد. در اين صورت، با تماس خود، نقطه‌‌اى نيز بر روى سطح مشخص مى‌‌شود كه جسمِ مذكور، در آن نقطه با سطح، مماسّ مى‌‌گردد. در اين صورت، اگر جسم از حالت تعادل خارج شود و بر روى سطح قرار گيرد نقطه تماس از دو حال خارج نخواهد بود:

الف ـ يا اين است كه نقطه مذكور، به حال خود، ثابت باقى مى‌‌ماند. يعنى طرفِ مماس با سطح، همچنان در جاى خود باقى مى‌‌ماند و تكانى نمى‌‌خورد. هر نقطه‌‌اى را در هر جاى آن فرض كنيد، خودش دائره‌‌اى را رسم مى‌‌كند. يعنى همچنانكه به طرف پائين مى‌‌آيد، پيوسته، دايره‌‌اى را رسم مى‌‌كند.

ب ـ يا اين است كه وقتى يك طرف جسم پائين مى‌‌رود، طرفِ ديگر

---

1. منظور از دايره يعنى خط منحنىِ منظّمى كه هرگاه ادامه يابد، دائره ساخته مى‌‌شود؛‌‌ و منظور از منحنى، قوسى است كه منظّم نباشد.

جسم، محفوظ نمى‌‌ماند. بلكه به طرف بالا مى‌‌گرايد. در نتيجه، هر دو طرف، يك خط منحنى (= قوس منظمى) را كه دَوَرانى است، ترسيم مى‌‌كنند.

آنگاه، پس از آنكه دايره رسم مى‌‌شود، نصف آن در يك طرف و نصف ديگر آن، در طرف ديگر خواهد بود. و مركز دايره، همان نقطه‌‌اى است كه در جريان حركتِ جسم، ثابت مى‌‌ماند. از اين رو، نقطه‌‌اى كه بين جزء «هابط» (پائين رونده) و جزء «صاعد» (بالارونده) وجود دارد، مركزِ دايره را تشكيل مى‌‌دهد. و در صورتى كه مركز دايره هم نباشد، بالاخره، نقطه ثابتى خواهد بود.

بنابراين، تاكنون دو حالت فرض كرديم: يكى اينكه نقطه ثابتى باشد و يك طرفش حركت كند؛ ديگر اينكه نقطه ثابتى نباشد. يك طرف آن پائين رود و طرف ديگر آن بالا رود.

حالتِ سومى هم مى‌‌توان در نظر گرفت، و آن اينكه وقتى يك طرفِ جسم كه سنگين است بر روى سطح واقع مى‌‌شود، طرفِ ديگر آن هم عقب‌‌تر رود و بر روى سطح كشيده شود. چنين فرضى هم در ترسيم يك خطّ منحنى، ممكن است؛ گرچه، به خودى خود، واقع نمى‌‌شود.

بنابراين، اگر نقطه‌‌اى كه از طرفِ سبك جسم، مماس بود، بر روى سطح، كشيده شود؛ در اين صورت، آن طرف بالائىِ جسم كه ثقيل است، به طرف پائين مى‌‌گرايد، و گرچه وقتى كشيده مى‌‌شود يك قوس كامل را رسم نمى‌‌كند، ولى قطعه‌‌اى از دايره را رسم مى‌‌كند. يعنى خطّ منحنى‌‌اى را پديد مى‌‌آورد كه دايره را بوجود نمى‌‌آورد؛ امّا، انحنا دارد.

وَ لاَِنَّ الْمَيْلَ اِلَى الْمَرْكَزِ اِنَّما هُوَ عَلَى الْمُحاذاةِ، فَمَحالٌ اَنْ تَنْجَرَّ النُّقْطَةُ عَلَى السَّطْحِ. لاَِنَّ تِلْكَ الْحَرَكَةَ اِمّا اَنْ تَكُونَ بِالْقَسْرِ اَوْ بِالطَّبْعِ، وَ لَيْسَتْ بِالطَّبْعِ وَ لَيْسَتْ بِالْقسْرِ، لاَِنَّ ذلِكَ الْقَسْرَ لا يُتَصَوَّرُ اِلاّ عَنِ الاَْجْزاءِ الَّتي هِىَ اَثْقَلُ، وَ تِلْكَ لَيْسَتْ تَدْفَعُها اِلى تِلْكَ الْجِهَةِ، بَلْ اِنْ دَفَعَتْها عَلى حِفْظِ الاِْتِّصالِ دَفَعَتْها عَلى

خِلافِ حَرَكَتِها وَ نَقَلَتْها لِيُمْكِنَ اَنْ تُنَزَّل هِىَ، كانَ الْعالِيَةُ مِنْها اِذْ هِىَ اَثْقَلُ تَطْلُبُ حَرَكَةً اَسْرَعَ، والْمُتَوَسِّطَةُ اَبْطَأَ. وَ هُناكَ اِتِّصالٌ يَمْنَعُ مَيْلا مِنْ اَنْ يَنْعَطِفَ فَيُضْطَرُّ الْعالي اِلى اَنْ يَشيلَ السّافِل حَتّى يَنْحَدِرَ، فَيَكُونُ حينَئذ اَلْجِسْمُ مُنْقَسِماً اِلى جُزْءَيْنِ: جُزْء يَميلُ اِلىَ الْعِلْوِ قَسْراً، وَ جُزْء يَميلُ اِلَى السِّفْلِ طَبْعاً، و بَيْنَهُما حَدٌّ هُوَ مَرْكَزٌ لِلْحَرَكَتَيْنِ، وَ قَدْ خَرَجَ مِنْهُ خَطٌّ مُسْتَقيمٌ مّا فَيْفَعَلُ الدّائِرَةَ.

فَبَيِّنٌ اَنَّهُ اِنْ لَزِمَ عَنْ اِنْحِدارِ الْجِسْمِ زَوالٌ فَهُوَ اِلى فَوْق، وَ اِنْ لَمْ يَزَلْ عَنْهُ فَوُجُودُ الدّائِرَةِ اَصَحّ. فَاِذا ثَبَتَتْ الدّائرَةُ ثَبَتَ الْمُنْحني، لاَِنَّهُ اِذا ثَبَتَتْ الذّائِرَةُ ثَبَتَتْ الْمُثَلَّثاتُ وَ الْقائِمُ الزّاوِيَةُ اَيْضاً، وَ ثَبَتَ جَوازُ دَوْرِ اَحَدِ ضِلْعَىِ الْقائِمَةِ عَلَى الزّاوِيَةِ فَصَحَّ مَخْروُطٌ، فَاِنْ فَصَلَ مَخْروُطٌ بِسَطْح مُحارف صَحَّ قَطْعٌ. فَصَحَّ مُنْحَن.

بطلان فرض ياد شده

فرض بر اين بود كه وقتى جسم به طرف پائين مى‌‌آيد، طرف ديگر آن نيز بر روى سطح كشيده شود. مصنف، اين فرض را، فرضِ نادرستى مى‌‌داند.

زيرا، علّتِ پائين آمدن جسمِ سنگين، طبق طبيعيات قديم، ميل و گرايش به مركز است. چون مركزِ آن، زمين است؛ ميل به مركز، آن را به طرف زمين حركت مى‌‌دهد. و اين يك حركت طبيعى است، و از آن رو كه هر چيزى به طرفِ طبيعت خودش مى‌‌گرايد؛ بنابراين، منشأ حركتِ آن طرفِ سنگين اين جسم نيزميل به مركز مى‌‌باشد. درباره ميل به مركز، حكماى طبيعى قاعده‌‌اى را بيان مى‌‌كنند كه بر اساس آن، مركز طبيعى كه مى‌‌خواهد شىء را به طرف خود بكشد، نقطه‌‌اى را به سوى خود مى‌‌كشد كه محاذى آن باشد.

حال، نقطه ديگرى كه بر روى سطح ثابت بود چرا اينك بر روى سطح كشيده مى‌‌شود؟ چه عاملى موجب مى‌‌شود كه نقطه مذكور، بر روى سطح حركت كند؟ عاملِ حركت آن از دو حال خارج نيست: الف، يا بايد حركتِ آن طبيعى باشد؛ ب، يا قسرى؛ امّا، حركت طبيعى چنانكه گفتيم بايد به

صورت محاذات باشد. بنابراين، جسم مذكور كه بر روى سطح كشيده مى‌‌شود، حركتش طبيعى نيست. زيرا، جهتِ آن، به طور مستقيم محاذى مركز نيست. بلكه به سمت ديگرى مى‌‌رود. از اين رو، حركتِ آن طبيعى نخواهد بود. بنابراين، اگر چنين حركتى واقع شود، لاجَرَم قسرى است. حال، سؤال اين است كه قاسر اين حركت چيست؟ پاسخِ اين سؤال، آن است كه طرفِ سنگينِ جسم، قاسر است.

تأثير قاسر، سبب مى‌‌شود كه طرف ديگر، بالا رود. يعنى يك طرف كه به طور طبيعى با ايجاد يك قوس روى سطح قرار مى‌‌گيرد، متقابلا موجب مى‌‌شود كه طرف ديگر آن نيز به سمت بالا بگرايد.

بر اساس فرض نخست، اگر نقطه را ثابت نگه‌‌داريد؛ طرفِ سنگين به طور طبيعى به سمت پائين حركت مى‌‌كند، و طرفِ ديگر به طور قسرى به سمت بالا حركت خواهد كرد.

حاصل آنكه: حركت جسمى كه بر روى سطح كشيده مى‌‌شود از دو حال خارج نيست: يا قسرى است و يا طبيعى.

امّا، طبيعى نمى‌‌تواند باشد. زيرا، حركت طبيعى، ميل به مركز دارد و در جهت محاذات است نه در جهت ديگر.

حركتِ مذكور، قسرى هم نيست. زيرا، اگر قسرى باشد، بايد از آن رو باشد كه طرفِ سنگين جسم كه به سمت پائين گراييده، طرفِ ديگر را قسراً به سمت بالا برده باشد؛ در حالى كه در مورد فرض، چنين نيست. و قاسرى هم وجود ندارد كه طرفِ مماس جسمِ سبك را بر روى ميز بكشد. بلكه اگر اتصال اجزاء محفوظ باشد آنسان كه ما قائل هستيم و طرفِ سنگين بخواهد، طرفِ سبك را به حركت در آورد، بايد خودش كه به سمت پائين مى‌‌گرايد، طرفِ ديگر را بر خلافِ جهتِ آن حركت، به طرفِ بالا حركت دهد؛ و از جاى خود منتقل كند تا بتواند خودش به سمت پائين برود.